найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции y=x2+3x-4/x-2

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции, а также её экстремумов, нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберемся по порядку с функцией:

\[ y = \frac{x^2 + 3x - 4}{x - 2} \]

1. Найдём производную функции. Чтобы определить интервалы возрастания и убывания, необходимо проанализировать первую производную функции \( y' \).

Используем правило частного для производной:

\[ y' = \frac{(u'v - uv')}{v^2} \]

где \( u = x^2 + 3x - 4 \) и \( v = x - 2 \).

Производные \( u' \) и \( v' \):

• \( u' = 2x + 3 \)
• \( v' = 1 \)

Теперь подставим в формулу:

\[ y' = \frac{(2x + 3)(x - 2) - (x^2 + 3x - 4) \cdot 1}{(x - 2)^2} \]

После упрощения получим:

\[ y' = \frac{(2x^2 - 4x + 3x - 6) - (x^2 + 3x - 4)}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 2x - 2}{(x - 2)^2} \]

2. Найдём критические точки. Эти точки находятся, когда \( y' = 0 \) или когда производная не определена.

Чтобы найти точки, где \( y' = 0 \), решим уравнение:

\[ x^2 - 2x - 2 = 0 \]

Используя формулу для корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):

\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3} \]

Критические точки: \( x_1 = 1 + \sqrt{3} \) и \( x_2 = 1 - \sqrt{3} \).

Также нужно учитывать, что функция не определена при \( x = 2 \).

3. Определим интервалы. Мы можем провести анализ знаков производной на интервалах, выделяя следующие отрезки:

• \( (-\infty, 1 - \sqrt{3}) \)
• \( (1 - \sqrt{3}, 2) \)
• \( (2, 1 + \sqrt{3}) \)
• \( (1 + \sqrt{3}, +\infty) \)

Теперь выбираем тестовые точки из каждого интервала для проверки знака производной.

4. Определим знаки производной:

• В интервале \( (-\infty, 1 - \sqrt{3}) \): например, возьмем \( x = -3 \). Находим \( y'(-3) > 0 \) — функция возрастает.
• В интервале \( (1 - \sqrt{3}, 2) \): например, \( x = 0 \). Находим \( y'(0) < 0 \) — функция убывает.
• В интервале \( (2, 1 + \sqrt{3}) \): например, \( x = 3 \). Находим \( y'(3) > 0 \) — функция возрастает.
• В интервале \( (1 + \sqrt{3}, +\infty) \): например, \( x = 4 \). Находим \( y'(4) < 0 \) — функция убывает.

5. Экстремумы:

• Минимум в точке \( x = 1 - \sqrt{3} \)
• Максимум в точке \( x = 1 + \sqrt{3} \)

Таким образом, можно резюмировать:

• Интервалы возрастания: \( (-\infty, 1 - \sqrt{3}) \) и \( (2, 1 + \sqrt{3}) \)
• Интервалы убывания: \( (1 - \sqrt{3}, 2) \) и \( (1 + \sqrt{3}, +\infty) \)
• Экстремумы:
  • Минимум в \( x = 1 - \sqrt{3} \)
  • Максимум в \( x = 1 + \sqrt{3} \)

Если у вас остались вопросы или нужна помощь с другим материалом, не стесняйтесь спрашивать!