знаменатель обыкновенной дроби на 6 больше ее числителя. если из числителя вычесть 2,а к знаменателю прибавить 2,то дробь уменишьтся на одну шестую. найдите эту дробь.
Давайте решим эту задачу шаг за шагом. Обозначим числитель дроби за \( x \), а знаменатель – за \( y \). Из условия задачи мы знаем, что:
Знаменатель на 6 больше числителя:
\( y = x + 6 \).Если из числителя вычесть 2, а к знаменателю прибавить 2, дробь уменьшится на одну шестую:
Это можно записать как: \[ \frac{x - 2}{y + 2} = \frac{x}{y} - \frac{1}{6}. \]
Теперь подставим выражение для \( y \) в уравнение:
\[ \frac{x - 2}{(x + 6) + 2} = \frac{x}{x + 6} - \frac{1}{6} \]
Упростим левую часть:
\[ \frac{x - 2}{x + 8} = \frac{x}{x + 6} - \frac{1}{6}. \]
Теперь нужно упростить правую часть. Для этого приведем дроби к общему знаменателю:
\[ \frac{x}{x + 6} - \frac{1}{6} = \frac{6x}{6(x + 6)} - \frac{x + 6}{6(x + 6)} = \frac{6x - (x + 6)}{6(x + 6)} = \frac{5x - 6}{6(x + 6)}. \]
Теперь у нас есть уравнение:
\[ \frac{x - 2}{x + 8} = \frac{5x - 6}{6(x + 6)}. \]
Теперь, чтобы избавиться от дробей, можно перемножить обе стороны на \( 6(x + 6)(x + 8) \):
\[ 6(x - 2)(x + 6) = (5x - 6)(x + 8). \]
Раскроем скобки с обеих сторон:
Левая часть: \[ 6(x^2 + 4x - 12) = 6x^2 + 24x - 72. \]
Правая часть: \[ (5x^2 + 40x - 6x - 48) = 5x^2 + 34x - 48. \]
Теперь приравняем и упростим:
\[ 6x^2 + 24x - 72 = 5x^2 + 34x - 48. \]
Переносим все на одну сторону:
\[ 6x^2 - 5x^2 + 24x - 34x - 72 + 48 = 0, \] что упрощается до: \[ x^2 - 10x - 24 = 0. \]
Теперь можем найти корни этого уравнения, используя дискриминант:
\[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196. \]
Корень дискриминанта равен 14, то есть:
\[ x_{1,2} = \frac{10 \pm 14}{2}. \]
Теперь найдем значения:
- \( x_1 = \frac{24}{2} = 12 \),
- \( x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \) (отрицательное значение мы не рассматриваем, так как числитель дроби не может быть отрицательным).
Таким образом, \( x = 12 \). Теперь найдём \( y \):
\[ y = x + 6 = 12 + 6 = 18. \]
Итак, дробь, которую мы искали: \[ \frac{x}{y} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}. \]
Ответ: искомая дробь \( \frac{2}{3} \).
