При каком значении X скалярное произведение векторов а(x;-3x;5) и b(x;4;x) принимает наименьшее значение

Чтобы найти значение \(X\), при котором скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}(x, -3x, 5)\) и \(\mathbf{b}(x, 4, x)\) принимает наименьшее значение, начнем с вычисления самого скалярного произведения.

Скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) рассчитывается по формуле:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \]

Подставим компоненты векторов:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x \cdot x + (-3x) \cdot 4 + 5 \cdot x \]

Упрощаем:

\[ = x^2 - 12x + 5x \] \[ = x^2 - 7x \]

Теперь нам нужно найти минимум функции \(f(x) = x^2 - 7x\). Это квадратичная функция, которая открыта вверх, и минимальное значение достигается в её вершине. Вершину квадратичной функции \(ax^2 + bx + c\) можно найти по формуле:

\[ x = -\frac{b}{2a} \]

Где \(a = 1\) и \(b = -7\):

\[ x = -\frac{-7}{2 \cdot 1} = \frac{7}{2} = 3.5 \]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) принимает наименьшее значение при \(X = 3.5\).