В тетраэдре DABC дано: angle ADB = 54 deg , angle BDC = 72 deg angle CDA = 90 deg DA = 20CM , BD = 18 см, DC = 21 см. Найдите: а) ребра основания АВС данного тетраэдра; площади…

Для решения задачи, сначала найдем длины рёбер основания \( ABC \) тетраэдра \( DABC \), используя теорему косинусов, а затем найдем площади боковых граней.

1. Нахождение рёбер основания \( ABC \)

Сначала у нас есть треугольник \( ABD \). Используя угол \( \angle ADB = 54^\circ \), мы можем применить теорему косинусов в треугольнике \( ABD \):

\[ AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos(\angle ADB) \]

Подставляем известные значения:

\[ AB^2 = 20^2 + 18^2 - 2 \cdot 20 \cdot 18 \cdot \cos(54^\circ) \]

Найдем \(\cos(54^\circ)\): \(\cos(54^\circ) \approx 0.5878\)

Теперь подставим значение:

\[ AB^2 = 400 + 324 - 2 \cdot 20 \cdot 18 \cdot 0.5878 \] \[ AB^2 = 724 - 2 \cdot 20 \cdot 18 \cdot 0.5878 \] \[ AB^2 = 724 - 2 \cdot 20 \cdot 18 \cdot 0.5878 \approx 724 - 425.23 \] \[ AB^2 \approx 298.77 \] \[ AB \approx \sqrt{298.77} \approx 17.29 \text{ см} \]

Теперь найдем сторону \( AC \) в треугольнике \( ADC \) с учетом угла \( \angle CDA = 90^\circ \):

\[ AC^2 = AD^2 + DC^2 \] \[ AC^2 = 20^2 + 21^2 \] \[ AC^2 = 400 + 441 = 841 \] \[ AC = \sqrt{841} = 29 \text{ см} \]

Теперь найдём сторону \( BC \) в треугольнике \( BDC \): Используем угол \( \angle BDC = 72^\circ \).

\[ BC^2 = BD^2 + DC^2 - 2 \cdot BD \cdot DC \cdot \cos(\angle BDC) \] Подставляем известные значения: \[ BC^2 = 18^2 + 21^2 - 2 \cdot 18 \cdot 21 \cdot \cos(72^\circ) \]

Зная \(\cos(72^\circ)\) (\(\approx 0.3090\)): \[ BC^2 = 324 + 441 - 2 \cdot 18 \cdot 21 \cdot 0.3090 \] \[ BC^2 = 765 - 2 \cdot 18 \cdot 21 \cdot 0.3090 \approx 765 - 239.64 \] \[ BC^2 \approx 525.36 \] \[ BC \approx \sqrt{525.36} \approx 22.9 \text{ см} \]

Теперь у нас есть длины рёбер основания:

• \( AB \approx 17.29 \) см
• \( AC = 29 \) см
• \( BC \approx 22.9 \) см

2. Нахождение площадей боковых граней

Площадь грани \( ABD \): \[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(A) \] где \(\angle A = ADB = 54^\circ\).

Подставляем: \[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 17.29 \cdot 20 \cdot \sin(54^\circ) \approx \frac{1}{2} \cdot 17.29 \cdot 20 \cdot 0.8090 \] \[ S_{ABD} \approx 17.29 \cdot 10 \cdot 0.8090 \approx 139.8 \text{ см}^2 \]

Площадь грани \( ACD \): \[ S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 29 \cdot 20 = 290 \text{ см}^2 \]

Площадь грани \( BCD \): Для этой грани применяем формулу Герона, сначала находим полупериметр: \[ s = \frac{BD + DC + BC}{2} = \frac{18 + 21 + 22.9}{2} \approx 30.95 \] Площадь: \[ S_{BCD} = \sqrt{s(s - BD)(s - DC)(s - BC)} \approx \sqrt{30.95(30.95 - 18)(30.95 - 21)(30.95 - 22.9)} \] Посчитаем: \[ S_{BCD} = \sqrt{30.95 \cdot 12.95 \cdot 9.95 \cdot 8.05} \approx \sqrt{30.95 \cdot 12.95 \cdot 9.95 \cdot 8.05} \approx 169.76 \text{ см}^2 \]

Площадь грани \( BDA \): Также можно использовать формулу, аналогично: \[ S_{BDA} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AD \cdot \sin(72^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 20 \cdot 0.9511 \approx 171.56 \text{ см}^2 \]

3. Доказательство, что прямая \( MN \) параллельна плоскости \( BCD \)

Чтобы доказать, что прямая \( MN \), соединяющая середины рёбер \( AB \) и \( AC \), параллельна плоскости \( BCD \), используем теорему о том, что линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне этого треугольника.

Так как \( M \) и \( N \) – середины рёбер \( AB \) и \( AC \), а плоскость \( BCD \) состоит из сторон, соединяющих точки \( B, C, D \), то прямая \( MN \) будет параллельна плоскости \( BCD \).

Заключение

Рёбра основания:

• \( AB \approx 17.29 \) см
• \( AC = 29 \) см
• \( BC \approx 22.9 \) см

Площади граней:

• \( S_{ABD} \approx 139.8 \) см²
• \( S_{ACD} = 290 \) см²
• \( S_{BCD} \approx 169.76 \) см²
• \( S_{BDA} \approx 171.56 \) см²

Прямая \( MN \) параллельна плоскости \( BCD \).