В прямоугольный треугольник с катетами 2 ед. изм. и 14 ед. изм. вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Вычисли периметр квадрата.

Обозначим стороны прямоугольного треугольника: катеты \( a = 2 \) и \( b = 14 \). Найдем длину стороны квадрата, который вписан в этот треугольник и имеет общий прямой угол с треугольником.

Обозначим сторону квадрата как \( x \). Поскольку квадрат вписан в треугольник, его два угла будут находиться на катетах \( a \) и \( b \).

При этом расстояние от вершины прямого угла треугольника до основания квадрата будет \( 2 - x \) (с катета 2), а с другого катета будет \( 14 - x \) (с катета 14).

По теореме о равенстве подобных треугольников мы можем написать соотношение: \[ \frac{2 - x}{x} = \frac{x}{14 - x}. \]

Теперь умножим обе стороны на \( x(14 - x) \): \[ (2 - x)(14 - x) = x^2. \] Раскроем скобки: \[ 28 - 2x - 14x + x^2 = x^2. \] Сократим \( x^2 \): \[ 28 - 16x = 0. \] Решим уравнение: \[ 16x = 28 \implies x = \frac{28}{16} = \frac{7}{4} = 1.75. \]

Теперь найдем периметр квадрата, который равен \( 4x \): \[ P = 4x = 4 \cdot \frac{7}{4} = 7. \]

Таким образом, периметр квадрата равен \( 7 \) единицам.