Дана сфера и её касательная плоскость. В плоскости находится точка; через неё и центр сферы проведена прямая . Эта прямая образует с касательной плоскостью угол 68°. Радиус данной…
Дана сфера и её касательная плоскость. В плоскости находится точка; через неё и центр сферы проведена прямая . Эта прямая образует с касательной плоскостью угол 68°. Радиус данной сферы - R Вырази через R расстояние данной точки до поверхности сферы.
Для того чтобы выразить расстояние от заданной точки до поверхности сферы через радиус сферы \( R \), начнем с анализа ситуации.
Обозначим точку, через которую проходит прямая, как \( A \), а центр сферы как \( O \). Плоскость касательной упирается в сферу в точке касания, назовем её \( T \).
Угол между прямой \( OA \) и касательной плоскостью в точке \( T \) равен \( 68^\circ \). Это значит, что мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения расстояния от точки \( A \) до точки касания \( T \).
Применим отношение сторон треугольника \( OAT \), где:
- \( OA \) — прямое расстояние от центра сферы до точки \( A \),
- \( OT \) — радиус сферы, равный \( R \),
- \( AT \) — расстояние от точки \( A \) до поверхности сферы, которое мы ищем.
В прямоугольном треугольнике \( OAT \) угол \( OAT \) равен \( 68^\circ \). По определению косинуса, мы можем записать:
\[ \cos(68^\circ) = \frac{OT}{OA} = \frac{R}{OA} \]
Следовательно, мы можем выразить \( OA \):
\[ OA = \frac{R}{\cos(68^\circ)} \]
- Теперь нам нужно найти расстояние \( AT \). В этом треугольнике также можем использовать синус:
\[ \sin(68^\circ) = \frac{AT}{OA} \]
Таким образом, выражение для \( AT \):
\[ AT = OA \cdot \sin(68^\circ) = \frac{R}{\cos(68^\circ)} \cdot \sin(68^\circ) \]
- Подставляя значения тригонометрических функций, получаем:
\[ AT = R \cdot \frac{\sin(68^\circ)}{\cos(68^\circ)} = R \cdot \tan(68^\circ) \]
Таким образом, расстояние от точки \( A \) до поверхности сферы можно выразить как:
\[ AT = R \cdot \tan(68^\circ) \]
Это и будет искомое расстояние.
