На плоскости отметили несколько точек. Никакие три из них не лежат на одной прямой. Через каждую пару точек провели прямую. Всего получилось 36 прямых. Сколько отметили точек?

Обозначим количество точек как \( n \). Каждая пара точек определяет одну прямую, и количество способов выбрать 2 точки из \( n \) точек можно выразить через биномиальный коэффициент:

\[ \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} \]

Дано, что через все пары точек проведено 36 прямых, то есть:

\[ \frac{n(n-1)}{2} = 36 \]

Умножим обе стороны уравнения на 2:

\[ n(n-1) = 72 \]

Теперь мы можем решить это уравнение. Мы преобразуем его в квадратное уравнение:

\[ n^2 - n - 72 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 \]

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы корней:

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 1} \]

Так как \( \sqrt{289} = 17 \), имеем:

\[ n = \frac{1 + 17}{2} = 9 \quad \text{или} \quad n = \frac{1 - 17}{2} = -8 \]

Поскольку количество точек не может быть отрицательным, то мы имеем:

\[ n = 9 \]

Таким образом, количество отметленных точек равно \( \boxed{9} \).