"а) Решите уравнение 6log22(2cosx)−9log2(2cosx)+3=0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−π2;π]."

Привет! Давай разберём твоё задание по профильной математике.

А) Разбор уравнения

У нас есть уравнение:

\[ 6 \log_2^2(2\cos x) - 9 \log_2(2\cos x) + 3 = 0 \]

1. Для начала, мы можем сделать замену: \[ t = \log_2(2\cos x) \] Тогда уравнение можно записать как: \[ 6t^2 - 9t + 3 = 0 \]

2. Это квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью формулы корней квадратного уравнения: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 6, b = -9, c = 3 \).

Подставляем:

\[ t = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 3}}{2 \cdot 6} \]

\[ t = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 72}}{12} \]

\[ t = \frac{9 \pm 3}{12} \]

Таким образом, мы получаем два значения для \( t \):

• \( t_1 = \frac{1}{2} \)
• \( t_2 = 1 \)

Б) Находим \( \cos x \)

Теперь возвращаемся к заменённой переменной:

1. Для \( t_1 = \frac{1}{2} \): \[ \log_2(2\cos x) = \frac{1}{2} \] Переведём обратно в экспоненциальную форму: \[ 2\cos x = 2^{1/2} \Rightarrow 2\cos x = \sqrt{2} \] \[ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Это даёт решения: \[ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n \]

2. Для \( t_2 = 1 \): \[ \log_2(2\cos x) = 1 \] \[ 2\cos x = 2 \Rightarrow \cos x = 1 \] Это даёт решение: \[ x = 2\pi k \]

Проверяем отрезок \([- \frac{\pi}{2}; \pi]\)

Теперь ищем корни, подходящие под заданный отрезок:

• Для \( x = -\frac{\pi}{4} \)
• Для \( x = 0 \)
• Для \( x = \frac{\pi}{4} \)

Ответ

Таким образом, у нас есть:

1. Корни уравнения: \( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n \) и \( x = 2\pi k \)
2. Корни в интервале \([- \frac{\pi}{2}; \pi]\): \( x = -\frac{\pi}{4}; 0; \frac{\pi}{4} \)

К сожалению, ответ "Ученик не дал ответ на задание" некорректен. Надо обязательно выполнять все шаги, чтобы получить правильный ответ.

Если тебе нужна дополнительная помощь с объяснениями, дай знать! Оцени мой ответ: лайк или дизлайк?