3^√-64 - 1/4 4^√256

Давайте разберём выражение шаг за шагом.

1. Начнём с первого компонента: \( 3^{\sqrt{-64}} \). Здесь присутствует корень из отрицательного числа, что приводит к комплексным числам. В математике корень из отрицательного числа можно выразить через мнимую единицу \( i \), где \( i = \sqrt{-1} \). Таким образом,

\[ \sqrt{-64} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{-1} = 8i. \]

Теперь подставим это в выражение:

\[ 3^{\sqrt{-64}} = 3^{8i}. \]

2. Теперь рассмотрим второй компонент: \( \frac{1}{4} \cdot 4^{\sqrt{256}} \). Сначала найдём \( \sqrt{256} \):

\[ \sqrt{256} = 16. \]

Таким образом,

\[ 4^{\sqrt{256}} = 4^{16}. \]

Теперь, мы знаем, что \( 4 = 2^2 \), поэтому:

\[ 4^{16} = (2^2)^{16} = 2^{32}. \]

Теперь умножим это на \( \frac{1}{4} \):

\[ \frac{1}{4} \cdot 4^{16} = \frac{1}{4} \cdot 2^{32} = 2^{32 - 2} = 2^{30}. \]

3. Теперь подведём итог, объединим оба результата:

\[ 3^{8i} - 2^{30}. \]

Итак, окончательное выражение — это \( 3^{8i} - 2^{30} \). Оно имеет комплексную часть из-за \( 3^{8i} \) и вещественную часть из \( 2^{30} \). Если вам нужно больше информации о комплексных числах или других математических концепциях, не стесняйтесь задавать вопросы!