реши квадратное неравенство с графигом 2x²+7x-4<0
Для решения квадратного неравенства \(2x^2 + 7x - 4 < 0\) начнем с нахождения корней соответствующего квадратного уравнения \(2x^2 + 7x - 4 = 0\).
Шаг 1: Найдем дискриминант
Дискриминант \(D\) рассчитывается по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 2\), \(b = 7\), \(c = -4\).
Подставляем значения в формулу: \[ D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 \]
Шаг 2: Найдем корни уравнения
Корни уравнения можно найти по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 9}{4} \]
Теперь вычислим корни: \[ x_1 = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4 \]
Шаг 3: Определим интервалы
Корни уравнения \(x_1 = \frac{1}{2}\) и \(x_2 = -4\) делят числовую ось на три интервала:
- \( (-\infty, -4) \)
- \( (-4, \frac{1}{2}) \)
- \( (\frac{1}{2}, +\infty) \)
Шаг 4: Проверим знаки в каждом интервале
В каждом из интервалов подберем тестовые значения:
Для интервала \((- \infty, -4)\), например, \(x = -5\): \[ 2(-5)^2 + 7(-5) - 4 = 50 - 35 - 4 = 11 \quad (> 0) \]
Для интервала \((-4, \frac{1}{2})\), например, \(x = 0\): \[ 2(0)^2 + 7(0) - 4 = -4 \quad (< 0) \]
Для интервала \((\frac{1}{2}, +\infty)\), например, \(x = 1\): \[ 2(1)^2 + 7(1) - 4 = 2 + 7 - 4 = 5 \quad (> 0) \]
Шаг 5: Запишем итоговое решение
Итак, мы выяснили, что выражение \(2x^2 + 7x - 4 < 0\) выполняется на интервале \((-4, \frac{1}{2})\).
График
На графике параболы \(y = 2x^2 + 7x - 4\) видно, что это ветвь вверх, и она пересекает ось \(x\) в точках \(-4\) и \(\frac{1}{2}\). Значения функции меньше нуля находятся между этими двумя корнями.
Таким образом, ответом на неравенство будет: \[ -4 < x < \frac{1}{2} \]
Если возникнут дополнительные вопросы, буду рад помочь!
