X^4-5x^2-36=0
Чтобы решить уравнение \( x^4 - 5x^2 - 36 = 0 \), сначала заметим, что оно является уравнением четвёртой степени. Для решения его можно ввести новую переменную. Давайте обозначим \( y = x^2 \). Тогда уравнение преобразуется в:
\[ y^2 - 5y - 36 = 0. \]
Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с использованием формулы квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = -36 \).
Теперь подставим значения:
- Находим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169. \]
- Теперь используем дискриминант для нахождения корней \( y \):
\[ y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 13}{2}. \]
Теперь рассчитаем два корня:
- Первый корень:
\[ y_1 = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9. \]
- Второй корень:
\[ y_2 = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4. \]
Теперь у нас есть два значения для \( y \): \( y_1 = 9 \) и \( y_2 = -4 \).
Так как \( y = x^2 \), подставим \( y_1 \) и \( y_2 \):
- \( y_1 = 9 \):
\[ x^2 = 9 \Rightarrow x = 3 \quad \text{или} \quad x = -3. \]
- \( y_2 = -4 \):
Здесь мы видим, что \( x^2 = -4 \) не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Однако, если рассмотреть комплексные числа, то:
\[ x = 2i \quad \text{или} \quad x = -2i. \]
Таким образом, полные решения уравнения:
\[ x = 3, \quad x = -3, \quad x = 2i, \quad x = -2i. \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно что-то пояснить, не стесняйтесь спрашивать!
