(x ^ 3 - x ^ 2 + x - 1)/(2x + 3) ≤ 0

Чтобы решить неравенство \(\frac{x^3 - x^2 + x - 1}{2x + 3} \leq 0\), сначала мы найдем, при каких значениях \(x\) числитель и знаменатель равны нулю, а затем проанализируем знак всего выражения.

1. Найдём корни числителя:

Рассмотрим полином \(x^3 - x^2 + x - 1\). Для этого можно использовать метод проб и подбора, а также теорему о корнях.

Проверим, есть ли у него простой корень, подставив несколько значений:

• \(x = 1\): \(1^3 - 1^2 + 1 - 1 = 0\), значит \(x = 1\) — корень.

Теперь можем разделить числитель на \((x - 1)\): \[ x^3 - x^2 + x - 1 = (x - 1)(x^2 + ax + b) \] Согласно делению многочленов, выразим \(a\) и \(b\) через остаток. Результат будет: \[ x^3 - x^2 + x - 1 = (x - 1)(x^2 + 0x + 1) = (x - 1)(x^2 + 1) \]

Значит, числитель равен нулю при \(x = 1\). Для \(x^2 + 1\) нет действительных корней, так как \(x^2 + 1 > 0\) для всех \(x\).

2. Найдём корень знаменателя:

Знаменатель \(2x + 3\) равен нулю, когда \(2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}\).

3. Определим знаки:

Теперь определим знаки всего выражения на промежутках:

• Места, где выражение меняет знак: \(x = -\frac{3}{2}\) и \(x = 1\).

Разделим числовую прямую на интервалы:

• \((- \infty, -\frac{3}{2})\)
• \((- \frac{3}{2}, 1)\)
• \((1, +\infty)\)

Теперь проверим знак выражения в каждом из интервалов:

• Для интервала \((- \infty, -\frac{3}{2})\): Выберите \(x = -2\): \[ \frac{(-2)^3 - (-2)^2 + (-2) - 1}{2(-2) + 3} = \frac{-8 - 4 - 2 - 1}{-4 + 3} = \frac{-15}{-1} > 0 \]

• Для интервала \((- \frac{3}{2}, 1)\): Выберите \(x = 0\): \[ \frac{0 - 0 + 0 - 1}{3} = \frac{-1}{3} < 0 \]

• Для интервала \((1, +\infty)\): Выберите \(x = 2\): \[ \frac{8 - 4 + 2 - 1}{4 + 3} = \frac{5}{7} > 0 \]

4. Соберем все результаты:

• \((- \infty, -\frac{3}{2})\): больше нуля
• \((- \frac{3}{2}, 1)\): меньше нуля
• \((1, +\infty)\): больше нуля

5. Решаем неравенство:

Наше неравенство \(\frac{x^3 - x^2 + x - 1}{2x + 3} \leq 0\) будет выполняться на интервале \([- \frac{3}{2}, 1]\) включительно, так как \(x = 1\) делает числитель равным нулю, а также \(x = -\frac{3}{2}\) делает знаменатель равным нулю (в этом месте неравенство не может быть выполнено).

Таким образом, решение данного неравенства: \[ [-\frac{3}{2}, 1] \]