Разложи на множители с решением: -x^2+ 2x + y^2 - 6y + 8

Давайте рассмотрим выражение \(-x^2 + 2x + y^2 - 6y + 8\) и разложим его на множители шаг за шагом.

1. Начнем с упрощения выражения. Мы можем переставить его в удобную форму:

\[ -x^2 + 2x + y^2 - 6y + 8 = -(x^2 - 2x) + (y^2 - 6y) + 8 \]

2. Теперь будем работать с двумя частями отдельно: \(-x^2 + 2x\) и \(y^2 - 6y\).

Для первой части \(-x^2 + 2x\):

• Вынесем минус за скобки:

\[ -(x^2 - 2x) \]

• Теперь раскроем квадратное выражение \(x^2 - 2x\) с помощью формулы \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\):

\[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \]

Таким образом, \(-x^2 + 2x = -((x - 1)^2 - 1) = -(x - 1)^2 + 1\).

Для второй части \(y^2 - 6y\):

• Мы также можем разложить это выражение на множители. Сначала найдем полный квадрат:

\[ y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9 \]

3. Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:

\[ -(x - 1)^2 + 1 + (y - 3)^2 - 9 + 8 \]

4. Упростим это выражение:

\[ - (x - 1)^2 + (y - 3)^2 + 1 - 9 + 8 = - (x - 1)^2 + (y - 3)^2 \]

5. Таким образом, мы пришли к выражению:

\[ - (x - 1)^2 + (y - 3)^2 \]

6. Теперь можем записать окончательно:

Так как мы имеем разность квадратов:

\[ - (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = (y - 3 + (x - 1))(y - 3 - (x - 1)) \]

Итак, разложение на множители будет:

\[ (y - x + 2)(y + x - 4) \]

Подводя итог, разложение выражения \(-x^2 + 2x + y^2 - 6y + 8\) на множители даёт нам результат:

\[ (y - x + 2)(y + x - 4) \]