Тело, первоначально имевшее температуру Т=10 градусов, нагревается за счет передачи тепла из внешней среды, температура которой Т=80 градусов. Количество тепла, получаемое тело в…

Для описания изменения температуры тела со временем мы можем использовать закон Ньютона о охлаждении, который гласит, что скорость изменения температуры тела пропорциональна разнице температур между телом и окружающей средой.

Обозначим:

• \( T(t) \) - температура тела в момент времени \( t \),
• \( T_{\text{ср}} = 80 \, \text{°C} \) - температура окружающей среды,
• \( T_0 = 10 \, \text{°C} \) - начальная температура тела,
• \( m = 3 \, \text{кг} \) - масса тела,
• \( c = 200 \, \text{Дж/(кг·К)} \) - удельная теплоемкость,
• \( k = 0.6 \, \text{Дж/(с·К)} \) - коэффициент пропорциональности.

Согласно закону Ньютона, количество тепла, получаемое телом в единицу времени, описывается уравнением: \[ \frac{dQ}{dt} = k(T_{\text{ср}} - T(t)), \] где \( dQ = mc \, dT \), поэтому: \[ \frac{dQ}{dt} = mc \frac{dT}{dt}. \] Подставим в это уравнение из первого: \[ mc \frac{dT}{dt} = k(T_{\text{ср}} - T(t)). \] Теперь выразим это как дифференциальное уравнение: \[ 3 \cdot 200 \frac{dT}{dt} = 0.6(80 - T(t)). \] Упростим уравнение: \[ 600 \frac{dT}{dt} = 48 - 0.6 T(t). \] Разделим обе стороны на 600: \[ \frac{dT}{dt} = \frac{48 - 0.6 T(t)}{600}. \] Упрощаем дробь: \[ \frac{dT}{dt} = 0.08 - 0.001 T(t). \]

Это уравнение можно переписать в стандартном виде: \[ \frac{dT}{dt} + 0.001 T(t) = 0.08. \]

Теперь можно решить это линейное обычное дифференциальное уравнение первого порядка. Найдем интегрирующий множитель: \[ \mu(t) = e^{\int 0.001 \, dt} = e^{0.001t}. \]

Умножим уравнение на интегрирующий множитель: \[ e^{0.001t} \frac{dT}{dt} + 0.001 e^{0.001t} T(t) = 0.08 e^{0.001t}. \] Слева мы можем записать производную: \[ \frac{d}{dt} \left( e^{0.001t} T(t) \right) = 0.08 e^{0.001t}. \] Теперь интегрируем обе стороны: \[ \int \frac{d}{dt} \left( e^{0.001t} T(t) \right) dt = \int 0.08 e^{0.001t} dt. \] Слева получим: \[ e^{0.001t} T(t) = \frac{0.08}{0.001} e^{0.001t} + C, \] где \( C \) - константа интегрирования. Правую часть упрощаем: \[ e^{0.001t} T(t) = 80 e^{0.001t} + C. \]

Теперь делим обе стороны на \( e^{0.001t} \): \[ T(t) = 80 + Ce^{-0.001t}. \]

Итак, у нас получилась формула для изменения температуры тела: \[ T(t) = 80 + Ce^{-0.001t}. \]

Теперь найдем константу \( C \) с начальным условием \( T(0) = 10 \): \[ 10 = 80 + C. \] Отсюда: \[ C = 10 - 80 = -70. \]

Подставим значение \( C \) в формулу для \( T(t) \): \[ T(t) = 80 - 70 e^{-0.001t}. \]

Таким образом, окончательная формула для температуры тела в любой момент времени \( t \): \[ T(t) = 80 - 70 e^{-0.001t}. \]