Рабочий обслуживает 3 станка, вероятности выхода из строя каждого из которых в течение часа соответственно равны 0,2; 0,15; 0,1. Составить закон распределения числа станков, не требующих ремонта в течение часа. Найти математическое ожидание.

Для решения этой задачи необходимо определить закон распределения числа станков, не требующих ремонта в течение часа. У нас есть три станка с вероятностями выхода из строя \(p_1 = 0.2\), \(p_2 = 0.15\) и \(p_3 = 0.1\). Соответственно, вероятности того, что каждый станок не выйдет из строя, будут равны:

• Для первого станка: \(q_1 = 1 - p_1 = 1 - 0.2 = 0.8\)
• Для второго станка: \(q_2 = 1 - p_2 = 1 - 0.15 = 0.85\)
• Для третьего станка: \(q_3 = 1 - p_3 = 1 - 0.1 = 0.9\)

Теперь можно рассчитать закон распределения числа станков, которые не требуют ремонта. Возможные случаи:

1. 0 станков, не требующих ремонта: Все три станка вышли из строя. \[ P(0) = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = 0.2 \cdot 0.15 \cdot 0.1 = 0.003 \]

2. 1 станок, не требующий ремонта: Один станок работает, два вышли из строя. Существует три различных варианта (первый, второй или третий станок работает): \[ P(1) = C(3, 1) \cdot q \cdot p \cdot p = 3 \cdot q_1 \cdot p_2 \cdot p_3 + 3 \cdot p_1 \cdot q_2 \cdot p_3 + 3 \cdot p_1 \cdot p_2 \cdot q_3 \] Подставляем значения: \[ P(1) = 3 \cdot (0.8 \cdot 0.15 \cdot 0.1 + 0.2 \cdot 0.85 \cdot 0.1 + 0.2 \cdot 0.15 \cdot 0.9) \] \[ = 3 \cdot (0.0012 + 0.017 + 0.027) = 3 \cdot 0.0452 = 0.1356 \]

3. 2 станка, не требующих ремонта: Два станка работают, один вышел из строя. Существует три различных варианта: \[ P(2) = C(3, 2) \cdot q \cdot q \cdot p = 3 \cdot q_1 \cdot q_2 \cdot p_3 + 3 \cdot q_1 \cdot p_2 \cdot q_3 + 3 \cdot p_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \] Подставляем значения: \[ P(2) = 3 \cdot (0.8 \cdot 0.85 \cdot 0.1 + 0.8 \cdot 0.15 \cdot 0.9 + 0.2 \cdot 0.85 \cdot 0.9) \] \[ = 3 \cdot (0.068 + 0.108 + 0.153) = 3 \cdot 0.329 = 0.987 \]

4. 3 станка, не требующих ремонта: Все три станка работают. \[ P(3) = q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 = 0.8 \cdot 0.85 \cdot 0.9 = 0.612 \]

Теперь можем подвести итог, составив закон распределения.

• \(P(0) = 0.003\)
• \(P(1) = 0.1356\)
• \(P(2) = 0.987\)
• \(P(3) = 0.612\)

Теперь давайте вычислим математическое ожидание \(E(X)\), где \(X\) - это количество станков, не требующих ремонта: \[ E(X) = 0 \cdot P(0) + 1 \cdot P(1) + 2 \cdot P(2) + 3 \cdot P(3) \] \[ E(X) = 0 \cdot 0.003 + 1 \cdot 0.1356 + 2 \cdot 0.987 + 3 \cdot 0.612 \] \[ = 0 + 0.1356 + 1.974 + 1.836 = 3.9466 \]

Таким образом, математическое ожидание количества станков, не требующих ремонта, составляет примерно \(E(X) = 2.9466\).