Суточный спрос задан функцией 420-3, 5р. при какой цене магазин получит максимальную выручку

Чтобы найти цену, при которой магазин получит максимальную выручку, сначала нужно записать функцию выручки. Выручка \(R\) может быть выражена как произведение цены \(p\) и количества товара, который будет продан при этой цене.

Согласно заданной функции спроса \(Q = 420 - 3.5p\), выручка будет равна:

\[ R = p \cdot Q = p \cdot (420 - 3.5p) = 420p - 3.5p^2. \]

Теперь мы имеем квадратичную функцию выручки \(R\). Чтобы найти максимум этой функции, нужно найти производную \(R\) по \(p\) и приравнять ее к нулю:

\[ \frac{dR}{dp} = 420 - 7p. \]

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

\[ 420 - 7p = 0 \Rightarrow 7p = 420 \Rightarrow p = 60. \]

Теперь нужно проверить, является ли это значение максимальным. Для этого найдем вторую производную:

\[ \frac{d^2R}{dp^2} = -7. \]

Так как вторая производная отрицательна, это подтверждает, что \(p = 60\) соответствует максимуму выручки.

Итак, магазин получит максимальную выручку при цене \(p = 60\).