корень x+2/3x-6=3

Для решения уравнения \(\sqrt{x} + \frac{2}{3}x - 6 = 3\), сначала упростим его.

1. Переносим 3 на левую сторону уравнения: \(\sqrt{x} + \frac{2}{3}x - 6 - 3 = 0\) Это упрощается до: \(\sqrt{x} + \frac{2}{3}x - 9 = 0\)

2. Теперь выразим \(\sqrt{x}\): \(\sqrt{x} = 9 - \frac{2}{3}x\)

3. Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \(x = \left(9 - \frac{2}{3}x\right)^2\)

4. Раскроем скобки на правой стороне уравнения: \(x = 81 - 2 \cdot 9 \cdot \frac{2}{3}x + \left(\frac{2}{3}x\right)^2\)
   \(= 81 - 12x + \frac{4}{9}x^2\)

5. Упорядочим уравнение, собрав все члены в одну сторону: \(\frac{4}{9}x^2 - 13x + 81 = 0\)

6. Умножим все коэффициенты на 9, чтобы избавиться от дробей: \(4x^2 - 117x + 729 = 0\)

7. Теперь можно использовать формулу для решения квадратного уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 4\), \(b = -117\), \(c = 729\).

   Вычислим дискриминант: \(D = (-117)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 729\) \(= 13689 - 11664\) \(= 2025\)

   Теперь подставим значения в формулу: \(x = \frac{117 \pm \sqrt{2025}}{8}\)

   Корень из 2025 равен 45, тогда: \(x = \frac{117 \pm 45}{8}\)

   Найдем два значения:

   1. \(x_1 = \frac{117 + 45}{8} = \frac{162}{8} = 20.25\)
   2. \(x_2 = \frac{117 - 45}{8} = \frac{72}{8} = 9\)

8. Проверим оба решения в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они подходят, так как при возведении в квадрат могут возникнуть посторонние решения.

   При \(x = 20.25\): \(\sqrt{20.25} + \frac{2}{3} \cdot 20.25 - 6\) не равно 3.

   При \(x = 9\): \(\sqrt{9} + \frac{2}{3} \cdot 9 - 6 = 3 + 6 - 6 = 3\), что верно.

Таким образом, единственное подходящее решение уравнения: \(x = 9\).