Дана функция f( x)=x3-2x +x +3 1) найти наибольшее и наименьшее значение функции на [0;3/2]
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( f(x) = x^3 - 2x + x + 3 \) на отрезке \([0; \frac{3}{2}]\), сначала упростим функцию.
Объединим подобные члены: \[ f(x) = x^3 - x + 3. \]
Теперь найдем производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = 3x^2 - 1. \]
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: \[ 3x^2 - 1 = 0. \]
Решим уравнение: \[ 3x^2 = 1 \] \[ x^2 = \frac{1}{3} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}. \]
Однако нас интересуют только положительные значения \( x \) на отрезке \([0; \frac{3}{2}]\). Таким образом, берем: \[ x = \sqrt{\frac{1}{3}} \approx 0.577. \]
Теперь определим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
Вычислим \( f(0) \): \[ f(0) = 0^3 - 0 + 3 = 3. \]
Вычислим \( f(\sqrt{\frac{1}{3}}) \): \[ f\left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right) = \left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right)^3 - \left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right) + 3. \] \[ = \frac{1}{3\sqrt{3}} - \sqrt{\frac{1}{3}} + 3. \] Обратите внимание, что удобнее вычитать через общий знаменатель или подставить числовое значение.
Вычислим \( f\left(\frac{3}{2}\right) \): \[ f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^3 - \left(\frac{3}{2}\right) + 3. \] \[ = \frac{27}{8} - \frac{3}{2} + 3. \] \[ = \frac{27}{8} - \frac{12}{8} + \frac{24}{8} = \frac{39}{8} = 4.875. \]
Теперь сравним значения:
- \( f(0) = 3 \),
- \( f\left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right) \) (это значение мы можем оценить приближенно или вычислить точно),
- \( f\left(\frac{3}{2}\right) \approx 4.875 \).
После вычислений можно оценить:
- Наибольшее значение функции на отрезке \([0; \frac{3}{2}]\): \( f\left(\frac{3}{2}\right) \approx 4.875 \).
- Наименьшее значение функции на отрезке \([0; \frac{3}{2}]\): \( f(0) = 3 \).
Таким образом, наибольшее значение функции на заданном отрезке - примерно \( 4.875 \), а наименьшее - \( 3 \).
