найдите все значения а, при которых неравенство х²+(2а+4)х+8а+1,≤0 не имеет решений.
Чтобы найти все значения \( a \), при которых неравенство \( x^2 + (2a + 4)x + (8a + 1) \leq 0 \) не имеет решений, нужно обратить внимание на дискриминант квадратного трёхчлена.
Обозначим:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \( a = 1 \), \( b = 2a + 4 \), \( c = 8a + 1 \).
Подставим значения \( a \), \( b \) и \( c \):
\[ D = (2a + 4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8a + 1) \]
Теперь вычислим дискриминант:
\[ D = (2a + 4)^2 - 4(8a + 1) \] \[ D = 4a^2 + 16a + 16 - 32a - 4 \] \[ D = 4a^2 - 16a + 12 \]
Теперь упростим выражение:
\[ D = 4(a^2 - 4a + 3) \]
Для нахождения корней уравнения \( a^2 - 4a + 3 = 0 \) применим формулу корней квадратного уравнения:
\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{4 \pm 0}{2} = 2 \]
Корни полученного уравнения:
\[ a_1 = 1, \quad a_2 = 3 \]
Теперь определим, при каких значениях \( a \) дискриминант меньше нуля. Это происходит, когда:
\[ a^2 - 4a + 3 < 0 \]
Решим неравенство \( (a - 1)(a - 3) < 0 \).
На оси чисел определим интервалы:
- \( (-\infty, 1) \)
- \( (1, 3) \)
- \( (3, +\infty) \)
Проверяем знак на интервалах:
- Для \( a < 1 \) (например, \( a = 0 \)) → \( (0 - 1)(0 - 3) > 0 \) (положительный)
- Для \( 1 < a < 3 \) (например, \( a = 2 \)) → \( (2 - 1)(2 - 3) < 0 \) (отрицательный)
- Для \( a > 3 \) (например, \( a = 4 \)) → \( (4 - 1)(4 - 3) > 0 \) (положительный)
Таким образом, неравенство \( D < 0 \) выполняется, когда:
\[ 1 < a < 3 \]
Это означает, что для значений \( a \) из интервала \( (1, 3) \) неравенство \( x^2 + (2a + 4)x + (8a + 1) \leq 0 \) не имеет решений.
