. Într-un cerc de centru O şi rază r = 20 cm se consideră coardele diferite [AB] și [CD]. Ştiind că AB = 24 cm şi distanţa de la O la CD este de 16 cm, stabiliți dacă AB = CD
Чтобы определить, равны ли отрезки [AB] и [CD] в окружности с центром O и радиусом r = 20 см, давайте воспользуемся теорией о расстоянии от центра окружности до хорд.
У нас есть хорда [AB] длиной 24 см. Дистанция от центра окружности O до хорды [AB] может быть рассчитана с использованием следующей формулы:
Длина хорды: пусть \( d \) - расстояние от центра окружности до хорды. Для хорды [AB], длина \( l_{AB} = 24 \) см.
Радиус и расстояние до хорды: Мы можем использовать теорему, которая говорит, что если \( d \) - расстояние от центра до хорды, то: \[ d = \sqrt{r^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2} \] где \( r \) - радиус окружности, а \( l \) - длина хорды.
Теперь подставим известные значения для хорды [AB]:
\[ d = \sqrt{20^2 - \left(\frac{24}{2}\right)^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 \text{ см} \]
Теперь мы видим, что расстояние от O до [AB] равно 16 см, что совпадает с данными о расстоянии до хорды [CD].
Поскольку расстояние от центра O до обоих хорд [AB] и [CD] одинаково (16 см), и длина [AB] известна, можем выводить длину [CD] аналогичным образом.
Для хорды [CD], если мы знаем, что расстояние также 16 см, тогда, согласно тем же расчетам:
\[ d = 16 \Rightarrow \sqrt{20^2 - \left(\frac{l_{CD}}{2}\right)^2} = 16 \]
Решая уравнение, получаем:
\[ \sqrt{400 - \left(\frac{l_{CD}}{2}\right)^2} = 16 \] \[ 400 - \left(\frac{l_{CD}}{2}\right)^2 = 256 \] \[ \left(\frac{l_{CD}}{2}\right)^2 = 144 \] \[ \frac{l_{CD}}{2} = 12 \Rightarrow l_{CD} = 24 \text{ см} \]
Таким образом, длина отрезка [CD] также составляет 24 см.
Следовательно, у нас получается, что:
AB = CD.
Это подтверждает, что обе хорды имеют одинаковую длину.
