Дана функция f(x)=x3-2x2+x+3 найти наибольшее и наименьшее значение функции на [0;3/2]

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 \) на отрезке \([0; \frac{3}{2}]\), следуйте этим шагам:

1. Найдите производную функции. Это позволит определить критические точки, где функция может принимать экстремальные значения.

\[ f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \]

2. Решите уравнение \( f'(x) = 0 \) для нахождения критических точек.

\[ 3x^2 - 4x + 1 = 0 \]

Для решения этого квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \]

Теперь найдём корни уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 2}{6} \] \[ x_1 = \frac{6}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

3. Проверьте критические точки и границы отрезка \([0; \frac{3}{2}]\). Нам нужно посчитать значения функции \( f(x) \) в точках \( 0 \), \( \frac{1}{3} \), \( 1 \) и \( \frac{3}{2} \).

• \( f(0) = 0^3 - 2 \cdot 0^2 + 0 + 3 = 3 \)
• \( f\left( \frac{1}{3} \right) = \left( \frac{1}{3} \right)^3 - 2 \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \frac{1}{3} + 3 \) \[ = \frac{1}{27} - 2 \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1}{27} - \frac{6}{27} + \frac{9}{27} + \frac{81}{27} = \frac{85 - 6}{27} = \frac{79}{27} \approx 2.926 \]
• \( f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3 \)
• \( f\left( \frac{3}{2} \right) = \left( \frac{3}{2} \right)^3 - 2 \left( \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{3}{2} + 3 \) \[ = \frac{27}{8} - 2 \cdot \frac{9}{4} + \frac{3}{2} + 3 = \frac{27}{8} - \frac{18}{4} + \frac{12}{8} + \frac{24}{8} \] \[ = \frac{27 + 12 + 24 - 36}{8} = \frac{27}{8} = 3.375 \]

4. Сравните все найденные значения:

• \( f(0) = 3 \)
• \( f\left( \frac{1}{3} \right) \approx 2.926 \)
• \( f(1) = 3 \)
• \( f\left( \frac{3}{2} \right) = 3.375 \)

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке \([0; \frac{3}{2}]\) равно \( 3.375 \), а наименьшее значение составляет \( 2.926 \).

Ответ: Наибольшее значение \( 3.375 \), наименьшее значение \( \approx 2.926 \).