Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f (x)=x2-8x/x+1 на отрезке [ -5;-2]
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( f(x) = \frac{x^2 - 8x}{x + 1} \) на отрезке \([-5; -2]\), сначала упростим функцию и затем найдем её экстремумы.
Упростим функцию: Мы можем разложить числитель: \[ x^2 - 8x = x(x - 8). \] Таким образом, функция принимает вид: \[ f(x) = \frac{x(x - 8)}{x + 1}. \]
Найдем производную: Для нахождения критических точек найдем производную \( f'(x) \) с помощью правила частного: \[ f'(x) = \frac{(x+1)(2x-8) - (x^2 - 8x)(1)}{(x + 1)^2}. \] Упростим числитель: \[ f'(x) = \frac{(2x^2 - 8x + 2x - 8) - (x^2 - 8x)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 - 6x - 8}{(x + 1)^2}. \]
Теперь найдем, где производная равна нулю, т.е. решим уравнение: \[ 2x^2 - 6x - 8 = 0. \] Упростим уравнение, поделив всё на 2: \[ x^2 - 3x - 4 = 0. \] Находим корни с помощью дискриминанта: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25. \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{3 \pm 5}{2} \rightarrow x_1 = 4, \quad x_2 = -1. \]
Из этих корней только \( x = -1 \) попадает в отрезок \([-5; -2]\).
Находим значения функции: Теперь необходимо вычислить значения функции в границах отрезка и в критической точке:
- \( f(-5) \): \[ f(-5) = \frac{(-5)^2 - 8(-5)}{-5 + 1} = \frac{25 + 40}{-4} = \frac{65}{-4} = -16.25. \]
- \( f(-2) \): \[ f(-2) = \frac{(-2)^2 - 8(-2)}{-2 + 1} = \frac{4 + 16}{-1} = \frac{20}{-1} = -20. \]
- \( f(-1) \): \[ f(-1) = \frac{(-1)^2 - 8(-1)}{-1 + 1}. \] Здесь функция не определена, так как мы делим на ноль.
Сравниваем значения: Теперь сравним значения:
- \( f(-5) = -16.25 \)
- \( f(-2) = -20 \)
На основании этих расчетов:
- Наименьшее значение функции на отрезке \([-5; -2]\) — это \( -20 \) (при \( x = -2 \)).
- Наибольшее значение функции на этом же отрезке — это \( -16.25 \) (при \( x = -5 \)).
Итак, наибольшее значение функции равно \( -16.25 \), а наименьшее — \( -20 \).
