Докажите что числа 301 и 585 взаимно простые

Чтобы доказать, что числа 301 и 585 взаимно простые, нужно показать, что наибольший общий делитель (НОД) этих чисел равен 1. Взаимно простые числа не имеют общих делителей, кроме 1.

1. Разложение на простые множители: Начнем с разложения обоих чисел на простые множители.

   • Для 301: 301 делится на 7 и 43 (так как 7 × 43 = 301). Следовательно, разложение: \(301 = 7 \times 43\).

   • Для 585: 585 делится на 5 (так как число заканчивается на 5), и делим 585 на 5: \(585 ÷ 5 = 117\). Далее, 117 можно разложить на 3 и 39 (так как 3 × 39 = 117), а 39 можно разложить на 3 и 13 (так как 3 × 13 = 39). Таким образом, мы получаем разложение: \(585 = 5 \times 3^2 \times 13\).

2. Сравнение множителей: Теперь мы видим, что простые множители 301: 7 и 43, а у 585: 5, 3 и 13.

   Никакие простые множители не совпадают между числами, что означает, что их НОД равен 1.

3. Заключение: Так как наибольший общий делитель \( \text{НОД}(301, 585) = 1\), то числа 301 и 585 взаимно простые.

Вывод: \(301\) и \(585\) — взаимно простые числа.