Катер прошёл 16 км по течению реки и 30 км против течения затратив на весь путь 1ч30мин найдите собственную скорость катера если скорость течения реки составляет 1км/ч

Для решения этой задачи давайте обозначим собственную скорость катера как \( v \) км/ч. Скорость катера по течению реки, когда он движется вниз по течению, будет равна \( v + 1 \) км/ч (скорость катера плюс скорость течения реки), а против течения — \( v - 1 \) км/ч (скорость катера минус скорость течения реки).

Сначала найдем время, которое катер затратил на каждую часть пути.

1. Расстояние по течению реки: 16 км \[ t_1 = \frac{16}{v + 1} \]

2. Расстояние против течения реки: 30 км \[ t_2 = \frac{30}{v - 1} \]

Общее время, затраченное на весь путь, равно 1 ч 30 мин, что составляет 1.5 часа: \[ t_1 + t_2 = 1.5 \]

Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \) в уравнение: \[ \frac{16}{v + 1} + \frac{30}{v - 1} = 1.5 \]

Теперь умножим оба lados уравнения на \( (v + 1)(v - 1) \), чтобы избавиться от знаменателей: \[ 16(v - 1) + 30(v + 1) = 1.5(v + 1)(v - 1) \]

Раскроем скобки: \[ 16v - 16 + 30v + 30 = 1.5(v^2 - 1) \] \[ 46v + 14 = 1.5v^2 - 1.5 \]

Переносим все в одну сторону уравнения: \[ 1.5v^2 - 46v - 15.5 = 0 \]

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичных: \[ 3v^2 - 92v - 31 = 0 \]

Теперь можно использовать формулу квадратного уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 3 \), \( b = -92 \), \( c = -31 \).

Подставляем значения: \[ v = \frac{92 \pm \sqrt{(-92)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-31)}}{2 \cdot 3} \] \[ v = \frac{92 \pm \sqrt{8464 + 372}}{6} \] \[ v = \frac{92 \pm \sqrt{8836}}{6} \] \[ v = \frac{92 \pm 94}{6} \]

Находим два возможных значения для \( v \):

1. \( v = \frac{186}{6} = 31 \) км/ч
2. \( v = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \) км/ч (недопустимо, так как скорость не может быть отрицательной)

Таким образом, собственная скорость катера составляет \( 31 \) км/ч.