Найдите наименьшее значение функции f(x)=3x² + 18x + 7 на промежутке [-5; -1]
Для нахождения наименьшего значения функции \( f(x) = 3x^2 + 18x + 7 \) на промежутке \([-5; -1]\), нам нужно сначала определить, является ли эта функция квадратичной и найти её вершину.
Функция \( f(x) \) является квадратичной, и её коэффициенты следующие:
- \( a = 3 \) (коэффициент при \( x^2 \)),
- \( b = 18 \) (коэффициент при \( x \)),
- \( c = 7 \) (свободный член).
Вершина квадратичной функции находится по формуле:
\[ x_{в} = -\frac{b}{2a} \]
Подставляем наши значения:
\[ x_{в} = -\frac{18}{2 \cdot 3} = -\frac{18}{6} = -3 \]
Теперь мы определили, что координата вершины функции \( x_{в} = -3 \) находится в промежутке \([-5; -1]\).
Теперь необходимо вычислить значение функции в этой точке и также проверить значение функции на границах промежутка: в точках \( x = -5 \) и \( x = -1 \).
Находим значение функции в точке \( x = -3 \): \[ f(-3) = 3(-3)^2 + 18(-3) + 7 = 3 \cdot 9 - 54 + 7 = 27 - 54 + 7 = -20 \]
Находим значение функции в точке \( x = -5 \): \[ f(-5) = 3(-5)^2 + 18(-5) + 7 = 3 \cdot 25 - 90 + 7 = 75 - 90 + 7 = -8 \]
Находим значение функции в точке \( x = -1 \): \[ f(-1) = 3(-1)^2 + 18(-1) + 7 = 3 \cdot 1 - 18 + 7 = 3 - 18 + 7 = -8 \]
Теперь сравниваем все три значения:
- \( f(-3) = -20 \)
- \( f(-5) = -8 \)
- \( f(-1) = -8 \)
Наименьшее значение функции на промежутке \([-5; -1]\) достигается в вершине и равно \(-20\).
Таким образом, наименьшее значение функции \( f(x) \) на данном промежутке составляет \( -20 \).
