sqrt(x^2-10x) < 3

Чтобы решить неравенство \(\sqrt{x^2 - 10x} < 3\), начнем с извлечения корня. Для этого сначала устраните корень, возведя обе части неравенства в квадрат. Однако, перед этим важно помнить, что выражение под корнем должно быть неотрицательным.

1. Возведение в квадрат:
   \(\sqrt{x^2 - 10x} < 3\)
   Возводим обе части в квадрат:
   \(x^2 - 10x < 9\)

2. Переносим все в одну сторону:
   \(x^2 - 10x - 9 < 0\)

3. Решение квадратного уравнения:
   Найдем корни уравнения \(x^2 - 10x - 9 = 0\) с помощью формулы квадратичного уравнения:
   \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
   Здесь \(a = 1\), \(b = -10\), \(c = -9\):
   \(x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 36}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{136}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{34}}{2} = 5 \pm \sqrt{34}\)

   Корни:
   \(x_1 = 5 + \sqrt{34}\)
   \(x_2 = 5 - \sqrt{34}\)

4. Определение промежутков:
   Теперь мы можем определить знаки в интервалах:

   • \( (-\infty, 5 - \sqrt{34}) \)
   • \( (5 - \sqrt{34}, 5 + \sqrt{34}) \)
   • \( (5 + \sqrt{34}, +\infty) \)

   Проверим знак неравенства \(x^2 - 10x - 9 < 0\) в каждом из этих промежутков.

   1. Для \(x < 5 - \sqrt{34}\): подставим, например, \(x = 0\):
      \(0^2 - 10 \cdot 0 - 9 < 0\) – выполняется.

   2. Для \(5 - \sqrt{34} < x < 5 + \sqrt{34}\): подставим, например, \(x = 5\):
      \(5^2 - 10 \cdot 5 - 9 < 0\) – тоже выполняется.

   3. Для \(x > 5 + \sqrt{34}\): подставим, например, \(x = 10\):
      \(10^2 - 10 \cdot 10 - 9 < 0\) – не выполняется.

5. Решение неравенства:
   Таким образом, решением нашего неравенства будет промежуток:
   \( (5 - \sqrt{34}, 5 + \sqrt{34}) \)

Итак, окончательный ответ:
\(x \in (5 - \sqrt{34}, 5 + \sqrt{34})\)