Х2-10х-21меньше или равно0
Чтобы решить неравенство \(x^2 - 10x - 21 \leq 0\), следуйте этим шагам:
Найдите корни квадратного уравнения: Для этого используйте формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -10\), \(c = -21\).
\[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 100 + 84 = 184 \]
Вычислите корни: Корни квадратного уравнения находятся по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{184}}{2} \]
Упростим \(\sqrt{184} = \sqrt{16 \cdot 11} = 4\sqrt{11}\):
\[ x_{1,2} = \frac{10 \pm 4\sqrt{11}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{11} \]
Таким образом, корни будут: \[ x_1 = 5 - 2\sqrt{11}, \quad x_2 = 5 + 2\sqrt{11} \]
Постройте числовую прямую и определите интервалы: На числовой прямой корни делят её на три интервала:
- \( (-\infty, 5 - 2\sqrt{11}) \)
- \( [5 - 2\sqrt{11}, 5 + 2\sqrt{11}] \)
- \( (5 + 2\sqrt{11}, +\infty) \)
Определите знак функции внутри каждого интервала. Для этого выберите тестовые точки из каждого интервала и подставьте в выражение \(x^2 - 10x - 21\):
Для интервала \((-∞, 5 - 2\sqrt{11})\) (например, \(x = -10\)): \((−10)^2 - 10(-10) - 21 = 100 + 100 - 21 = 179 > 0\)
Для интервала \((5 - 2\sqrt{11}, 5 + 2\sqrt{11})\) (например, \(x = 5\)): \(5^2 - 10 \cdot 5 - 21 = 25 - 50 - 21 = -46 < 0\)
Для интервала \((5 + 2\sqrt{11}, +∞)\) (например, \(x = 10\)): \(10^2 - 10 \cdot 10 - 21 = 100 - 100 - 21 = -21 < 0\)
Запишите результат:
Функция \(x^2 - 10x - 21 \leq 0\) выполняется на интервале \([5 - 2\sqrt{11}, 5 + 2\sqrt{11}]\).
Таким образом, решение неравенства:
\[ x \in [5 - 2\sqrt{11}; 5 + 2\sqrt{11}] \]
Если у вас есть другие вопросы или вы хотите подробнее разобрать какое-либо из этих шагов, пожалуйста, дайте знать!
