(x-2)(x+3)²/x+4>=0
Чтобы решить неравенство \((x-2)(x+3)^2/(x+4) \geq 0\), давайте рассмотрим следующую последовательность шагов.
Определим нули числителя и знаменателя:
- Числитель: \((x - 2)(x + 3)^2 = 0\) при \(x = 2\) и \(x = -3\).
- Знаменатель: \(x + 4 = 0\) при \(x = -4\).
Нули являются важными точками, так как они помогают разделить числовую прямую на интервалы.
Построим числовую прямую и выделим интервалы:
- Точки: \(-4, -3, 2\).
- Это делит числовую прямую на следующие интервалы: \((-\infty, -4)\), \((-4, -3)\), \((-3, 2)\), \((2, +\infty)\).
Определим знак выражения на каждом интервале:
Выберем тестовые точки в каждом из интервалов и подставим их в \((x-2)(x+3)^2/(x+4)\):
Для интервала \((-\infty, -4)\), возьмём \(x = -5\): \[ \frac{(-5-2)(-5+3)^2}{-5+4} = \frac{(-7)(-2)^2}{-1} = \frac{(-7)(4)}{-1} = 28 > 0 \] Знак положительный.
Для интервала \((-4, -3)\), возьмём \(x = -3.5\): \[ \frac{(-3.5-2)(-3.5+3)^2}{-3.5+4} = \frac{(-5.5)(-0.5)^2}{0.5} = \frac{(-5.5)(0.25)}{0.5} = -2.75 < 0 \] Знак отрицательный.
Для интервала \((-3, 2)\), возьмём \(x = 0\): \[ \frac{(0-2)(0+3)^2}{0+4} = \frac{(-2)(3)^2}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5 < 0 \] Знак отрицательный.
Для интервала \((2, +\infty)\), возьмём \(x = 3\): \[ \frac{(3-2)(3+3)^2}{3+4} = \frac{(1)(6)^2}{7} = \frac{36}{7} > 0 \] Знак положительный.
Соберем информацию о знаках:
- Интервал \((-\infty, -4)\): \(+\)
- Интервал \((-4, -3)\): \(-\)
- Интервал \((-3, 2)\): \(-\)
- Интервал \((2, +\infty)\): \(+\)
Учтем нули и точки, в которых функция не определена:
- Нули функции: \(x = -3\) (множитель с четной степенью, сохраняет знак), \(x = 2\) (числитель), \(x = -4\) (знаменатель, не включается).
- Мы ищем, где \((x-2)(x+3)^2/(x+4) \geq 0\).
Решение неравенства:
- Объединяя всё, мы находим, что решения будут в интервалах:
- \(x \in (-\infty, -4)\)
- \(x = -3\)
- \(x = 2\)
- \(x \in (2, +\infty)\)
- Объединяя всё, мы находим, что решения будут в интервалах:
Таким образом, окончательный ответ: \[ x \in (-\infty, -4) \cup \{-3\} \cup [2, +\infty) \]
