Чтобы решить первую задачу с треугольником ( ABC ), воспользуемся свойством, что если прямая, параллельная одной из сторон треугольника, пересекает другие стороны, то отрезки, на которые она делит эти стороны, пропорциональны.
- У нас есть треугольник ( ABC ) с ( AB = 9 ), ( AC = 18 ) и отрезок ( MN = 8 ), который параллелен стороне ( AC ).
- Поскольку ( MN ) параллельно ( AC ), то по свойству подобия трTriangles, имеем:
[
\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{AC}.
]
Подставим известные значения:
[
\frac{AM}{9} = \frac{8}{18}.
]
Упрощая правую часть, получим:
[
\frac{AM}{9} = \frac{4}{9}.
]
Теперь, перемножим и найдем ( AM ):
[
AM = 9 \cdot \frac{4}{9} = 4.
]
Таким образом, длина отрезка ( AM = 4 ).
Теперь перейдём ко второй задаче, где требуется найти ( \cos \angle ABC ) для треугольника ( ABC ) с длинами сторон ( AB = 8 ), ( BC = 10 ), ( AC = 12 ).
Для нахождения косинуса угла ( \angle ABC ) воспользуемся теоремой косинусов:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C,
]
где:
- ( a = AC = 12 )
- ( b = AB = 8 )
- ( c = BC = 10 )
Таким образом,
[
10^2 = 12^2 + 8^2 - 2 \cdot 12 \cdot 8 \cdot \cos \angle ABC.
]
Подставим значения:
[
100 = 144 + 64 - 192 \cdot \cos \angle ABC.
]
Сложим и упростим:
[
100 = 208 - 192 \cdot \cos \angle ABC.
]
Отсюда:
[
192 \cdot \cos \angle ABC = 208 - 100.
]
Это дает:
[
192 \cdot \cos \angle ABC = 108.
]
Теперь найдем ( \cos \angle ABC ):
[
\cos \angle ABC = \frac{108}{192} = \frac{9}{16}.
]
Таким образом, ( \cos \angle ABC = \frac{9}{16} ).
