4.2. Для каждого из следующих отношений на множестве натуральных чисел N опишите упорядоченные пары, принадлежащие отношениям: R ={(x, y): 2x + y = 9}; S ={(x, y): x + y < 7}; T…
4.2. Для каждого из следующих отношений на множестве натуральных чисел N опишите упорядоченные пары, принадлежащие отношениям: R ={(x, y): 2x + y = 9}; S ={(x, y): x + y < 7}; T ={(x, y): y = x²}. 4.3. Пусть R отношение на множестве {1, 2, 3, 4}, определяемое условием: u R v тогда и только тогда, когда u + 2v - нечетное число. Представьте В каждым из способов: (а) как множество упорядоченных пар; (б) в графической форме;
4.2. Описание упорядоченных пар для отношений R, S и T
Отношение R = {(x, y): 2x + y = 9}:
Рассмотрим натуральные числа (N = {1, 2, 3, ...}). Мы ищем такие пары (x, y), что 2x + y = 9.
- Если x = 1: 2 * 1 + y = 9 → y = 9 - 2 = 7. Пара: (1, 7).
- Если x = 2: 2 * 2 + y = 9 → y = 9 - 4 = 5. Пара: (2, 5).
- Если x = 3: 2 * 3 + y = 9 → y = 9 - 6 = 3. Пара: (3, 3).
- Если x = 4: 2 * 4 + y = 9 → y = 9 - 8 = 1. Пара: (4, 1).
- Если x ≥ 5, y будет отрицательным, что не подходит для натуральных чисел.
Таким образом, множество упорядоченных пар для отношения R: R = {(1, 7), (2, 5), (3, 3), (4, 1)}.
Отношение S = {(x, y): x + y < 7}:
Мы ищем такие пары (x, y), что сумма x и y меньше 7. Рассмотрим варианты для натуральных чисел:
- Если x = 1: y может быть 1, 2, 3, 4, 5 (Пары: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5)).
- Если x = 2: y может быть 1, 2, 3, 4 (Пары: (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)).
- Если x = 3: y может быть 1, 2 (Пары: (3, 1), (3, 2)).
- Если x = 4: y может быть 1 (Пара: (4, 1)).
- Если x = 5: y не может быть натуральным, так как (5, y) не подойдет.
Таким образом, множество упорядоченных пар для отношения S: S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}.
Отношение T = {(x, y): y = x²}:
Здесь мы ищем пары (x, y), где y является квадратом x. Для натуральных чисел:
- Если x = 1: y = 1² = 1 → Пара: (1, 1).
- Если x = 2: y = 2² = 4 → Пара: (2, 4).
- Если x = 3: y = 3² = 9 → Пара: (3, 9).
- Если x = 4: y = 4² = 16 → Пара: (4, 16).
- Если x ≥ 5, пары (5, 25), (6, 36) и так далее могут быть добавлены.
Таким образом, множество упорядоченных пар для отношения T (первые 4): T = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)}.
4.3. Отношение R на множестве {1, 2, 3, 4}
Условие: \( u R v \) тогда и только тогда, когда \( u + 2v \) - нечетное число.
(а) Как множество упорядоченных пар:
u = 1:
- v = 1: 1 + 2*1 = 3 (нечетное) → (1, 1)
- v = 2: 1 + 2*2 = 5 (нечетное) → (1, 2)
- v = 3: 1 + 2*3 = 7 (нечетное) → (1, 3)
- v = 4: 1 + 2*4 = 9 (нечетное) → (1, 4)
u = 2:
- v = 1: 2 + 2*1 = 4 (четное) → не включаем
- v = 2: 2 + 2*2 = 6 (четное) → не включаем
- v = 3: 2 + 2*3 = 8 (четное) → не включаем
- v = 4: 2 + 2*4 = 10 (четное) → не включаем
u = 3:
- v = 1: 3 + 2*1 = 5 (нечетное) → (3, 1)
- v = 2: 3 + 2*2 = 7 (нечетное) → (3, 2)
- v = 3: 3 + 2*3 = 9 (нечетное) → (3, 3)
- v = 4: 3 + 2*4 = 11 (нечетное) → (3, 4)
u = 4:
- v = 1: 4 + 2*1 = 6 (четное) → не включаем
- v = 2: 4 + 2*2 = 8 (четное) → не включаем
- v = 3: 4 + 2*3 = 10 (четное) → не включаем
- v = 4: 4 + 2*4 = 12 (четное) → не включаем
Таким образом, множество упорядоченных пар для отношения R: R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}.
(б) В графической форме:
Графически представить пары можно с помощью координатной системы. Пары (u, v) будут выглядеть следующим образом:
- (1, 1)
- (1, 2)
- (1, 3)
- (1, 4)
- (3, 1)
- (3, 2)
- (3, 3)
- (3, 4)
Эти точки будут находиться в плоскости на соответствующих координатах. Вы можете размечать график с осями u и v, где по оси u отложены значения 1, 2, 3, 4, а по оси v — соответствующие им значения. Это поможет визуально представить отношения.
