вычислите площадь фигуры ограниченной данными линиями y = 4 - x² и y = 0
Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой \(y = 4 - x^2\) и линией \(y = 0\), нам нужно найти пересечения этих линий и затем интегрировать.
Найдем точки пересечения: Точки пересечения находятся там, где \(y = 4 - x^2\) равно \(y = 0\). Это значит, что нам нужно решить уравнение: \[ 4 - x^2 = 0 \] Переносим \(x^2\) на правую сторону: \[ x^2 = 4 \] Из этого следует, что \(x = 2\) и \(x = -2\).
Найдем площадь фигуры: Площадь фигуры можно найти, вычислив определенный интеграл от функции \(4 - x^2\) на интервале от \(-2\) до \(2\): \[ S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx \]
Посчитаем интеграл: Сначала найдём неопределённый интеграл: \[ \int (4 - x^2) \, dx = 4x - \frac{x^3}{3} + C \] Теперь подставим пределы интегрирования: \[ S = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} \]
Подставляем верхний предел (2): \[ S(2) = 4(2) - \frac{(2)^3}{3} = 8 - \frac{8}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \]
Подставляем нижний предел (-2): \[ S(-2) = 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} = -8 + \frac{8}{3} = -8 + \frac{8}{3} = -\frac{24}{3} + \frac{8}{3} = -\frac{16}{3} \]
Теперь вычтем значения: \[ S = S(2) - S(-2) = \frac{16}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = 4 - x^2\) и \(y = 0\), равна \(\frac{32}{3}\) квадратных единиц.
