Пятеро рыболовов заметили, что любые двое из них вместе поймали не более 9 рыб. Каким, самое большее, может быть общий улов всех пятерых?
Обозначим количество рыб, пойманных каждым из пятерых рыболовов, как \( a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 \). По условию задачи, для любых двух рыболовов выполняется неравенство:
\[ a_i + a_j \leq 9 \]
для всех \( 1 \leq i < j \leq 5 \).
Чтобы найти максимальный общий улов всех рыболовов, мы можем записать сумму всех уловов:
\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5. \]
Теперь заметим, что по модели "любой паре охотников" мы можем составить комбинацию пар из 5 рыболовов. Всего таких пар будет
\[ \binom{5}{2} = 10. \]
Каждая пара может поймать не более 9 рыб, так что общее количество рыб, пойманных всеми парами, можно оценить следующим образом:
\[ S_{pairs} = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + \ldots, \]
где каждый \( a_i \) появляется в 4 комбинациях (то есть в 4 парах). Обозначим количество всех уловов:
\[ S_{pairs} = 4(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5) = 4S. \]
Каждая пара может поймать не более 9 рыб, так что:
\[ S_{pairs} \leq 10 \cdot 9 = 90. \]
Таким образом, у нас есть:
\[ 4S \leq 90, \]
или
\[ S \leq \frac{90}{4} = 22.5. \]
Но поскольку количество рыб не может быть дробным, то максимальное целое значение \( S \) — это 22.
Мы можем проверить, возможно ли получить этот улов. Например, пусть:
- \( a_1 = 5 \)
- \( a_2 = 5 \)
- \( a_3 = 5 \)
- \( a_4 = 4 \)
- \( a_5 = 3 \)
Тогда общий улов:
\[ S = 5 + 5 + 5 + 4 + 3 = 22. \]
Теперь проверим пары:
- \( (5, 5) \): 10
- \( (5, 4) \): 9
- \( (5, 3) \): 8
- \( (5, 5) \): 10
- \( (4, 3) \): 7
- и так далее...
Каждая пара из этих рыболовов уточняет условие, так как все ограничения выполняются.
Таким образом, максимальный общий улов всех пятерых рыболовов составляет 22.
