(а+в)²+(а-в)²≤3(а²+в²)

Для неравенства \((a+b)^2 + (a-b)^2 \leq 3(a^2 + b^2)\) давайте сначала упростим левую сторону.

1. Раскроем скобки в левой части: \[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] \[ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

   Соединим эти два выражения: \[ (a+b)^2 + (a-b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) = 2a^2 + 2b^2 \]

2. Теперь подставим это упрощение в неравенство: \[ 2a^2 + 2b^2 \leq 3(a^2 + b^2) \]

3. Перепишем правую часть: \[ 3(a^2 + b^2) = 3a^2 + 3b^2 \]

4. Теперь получаем неравенство: \[ 2a^2 + 2b^2 \leq 3a^2 + 3b^2 \]

5. Переносим все члены в одну сторону: \[ 2a^2 + 2b^2 - 3a^2 - 3b^2 \leq 0 \] \[ -a^2 - b^2 \leq 0 \]

6. Умножим неравенство на \(-1\) (необходимо поменять знак): \[ a^2 + b^2 \geq 0 \]

Это неравенство верно для всех действительных \(a\) и \(b\), так как сумма квадратов всегда неотрицательна. Таким образом, исходное неравенство \((a+b)^2 + (a-b)^2 \leq 3(a^2 + b^2)\) действительно для любых \(a\) и \(b\).

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны уточнения, не стесняйтесь спрашивать!