6. Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает ее боковые стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 25, BC = 15, CF : DF = 3…

Для нахождения длины отрезка \( EF \) в трапеции \( ABCD \) используем теорему о пропорциональных отрезках, которая гласит, что если в трапеции проведена прямая, параллельная основаниям, то эта прямая делит боковые стороны пропорционально основаниям.

Дано:

• Длина основания \( AD = 25 \)
• Длина основания \( BC = 15 \)
• Отношение \( CF : DF = 3 : 2 \)

Сначала найдем длину отрезка \( CF \) и \( DF \). Обозначим длину отрезка \( DF \) как \( x \). Тогда \( CF = \frac{3}{2}x \). В сумме эти отрезки равны: \[ CF + DF = \frac{3}{2}x + x = \frac{5}{2}x \]

Теперь выразим \( x \) через сумму оснований: \[ CF + DF = AD + BC = 25 + 15 = 40 \] Решая уравнение, мы имеем: \[ \frac{5}{2}x = 40, \] откуда \[ x = 40 \cdot \frac{2}{5} = 16. \]

Это означает:

• \( DF = 16 \)
• \( CF = \frac{3}{2} \times 16 = 24 \)

Теперь, используя пропорцию, находим длину отрезка \( EF \): \[ EF = \frac{AD + BC}{AD + BC} \cdot \frac{CF}{DF} = \frac{AB}{DC} \cdot ( AD + BC ). \] По формуле: \[ \frac{AD - BC}{AD - BC} = \frac{EF - BC}{AD - EF}. \] Таким образом, подставляя данные, имеем: \[ EF = \frac{AD \cdot DF + BC \cdot CF}{DF + CF} = \frac{25 \cdot 2 + 15 \cdot 3 }{5} = 27. \]

Итак, длина отрезка \( EF \) равна: \[ \boxed{27}. \]