В прямоугольном треугольнике катет равен х, второй катет равен х+3, а гипотенуза равна 15. Найти чему равны оба катета
В прямоугольном треугольнике можно использовать теорему Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В вашем случае гипотенуза равна 15, один катет равен \( x \), а второй катет равен \( x + 3 \).
Запишем уравнение по теореме Пифагора:
\[ x^2 + (x + 3)^2 = 15^2 \]
Теперь упростим это уравнение:
- Раскроем скобки:
\[ x^2 + (x^2 + 6x + 9) = 225 \]
- Сложим подобные члены:
\[ 2x^2 + 6x + 9 = 225 \]
- Переносим 225 в левую часть уравнения:
\[ 2x^2 + 6x + 9 - 225 = 0 \]
Это упростится до:
\[ 2x^2 + 6x - 216 = 0 \]
- Делим все коэффициенты на 2 для упрощения:
\[ x^2 + 3x - 108 = 0 \]
Теперь можно решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней:
\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = 3 \), \( c = -108 \).
- Считаем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441 \]
- Теперь находим корни:
\[ x = \frac{{-3 \pm \sqrt{441}}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{{-3 \pm 21}}{2} \]
Теперь у нас два варианта:
\[ x_1 = \frac{18}{2} = 9 \] \[ x_2 = \frac{-24}{2} = -12 \]
Поскольку длина катета не может быть отрицательной, принимаем \( x = 9 \).
Теперь находим длину второго катета:
\[ x + 3 = 9 + 3 = 12 \]
Итак, оба катета равны:
- Первый катет: \( 9 \)
- Второй катет: \( 12 \)
Окончательный ответ: катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12.
