На горизонтальной площадке, совершающей вертикальные гармонические колебания с частотой 5 Гц, лежит песчинка. При какой амплитуде (в мм) колебаний песчинка начнёт подскакивать?…

Чтобы определить амплитуду колебаний, при которой песчинка начнёт подскакивать, можно использовать принцип, что сила реакции опоры должна быть равной или превышать силу тяжести, действующую на песчинку.

1. Определим силы:

   • Сила тяжести (F_t) на песчинку: \( F_t = m \cdot g \), где \( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \) — ускорение свободного падения.
   • Сила, с которой песчинка испытывает подъем при колебаниях (F_n) может быть описана через максимальное ускорение колебаний: \( a_{max} = A \cdot \omega^2 \), где:
     • \( A \) — амплитуда колебаний,
     • \( \omega = 2 \pi f \) — угловая частота, \( f = 5 \, \text{Гц} \).

   Сначала найдем угловую частоту: \[ \omega = 2 \pi \cdot 5 \approx 31.42 \, \text{рад/с}. \]

2. Подставим в выражение для максимального ускорения: \[ a_{max} = A \cdot (31.42)^2. \]

3. Песчинка начнёт подскакивать, когда вертикальное ускорение превышает ускорение свободного падения: \[ A \cdot (31.42)^2 \geq g. \] Подставим значение \( g \): \[ A \cdot (31.42)^2 \geq 9.81. \] \[ A \cdot 987.04 \geq 9.81. \] \[ A \geq \frac{9.81}{987.04} \approx 0.009937 \, \text{м}. \]

4. Переведем в миллиметры: \[ A \approx 0.009937 \times 1000 \approx 9.937 \, \text{мм}. \]

5. Округлим до сотых: \[ A \approx 9.94 \, \text{мм}. \]

Таким образом, амплитуда колебаний, при которой песчинка начнёт подскакивать, составляет приблизительно 9.94 мм.