доказать, что векторы p=(-1,1) и q=(5,-3) образуют базис пространства R^2 и написать разложение по этому базису вектора a=(4,-2)
Чтобы доказать, что векторы \( \mathbf{p} = (-1, 1) \) и \( \mathbf{q} = (5, -3) \) образуют базис пространства \( \mathbb{R}^2 \), необходимо показать, что они линейно независимы. Для этого можно использовать определитель матрицы, составленной из этих векторов:
\[ \text{det}(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \begin{vmatrix} -1 & 5 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (-3) - (1) \cdot (5) = 3 - 5 = -2. \]
Поскольку определитель не равен нулю (\(-2 \neq 0\)), векторы \( \mathbf{p} \) и \( \mathbf{q} \) линейно независимы и образуют базис пространства \( \mathbb{R}^2 \).
Теперь найдем разложение вектора \( \mathbf{a} = (4, -2) \) по данному базису. Мы можем выразить вектор \( \mathbf{a} \) как линейную комбинацию векторов \( \mathbf{p} \) и \( \mathbf{q} \):
\[ \mathbf{a} = k_1 \cdot \mathbf{p} + k_2 \cdot \mathbf{q}, \]
где \( k_1 \) и \( k_2 \) — это коэффициенты, которые нам нужно найти. Записываем это в виде уравнений:
\[ (4, -2) = k_1 \cdot (-1, 1) + k_2 \cdot (5, -3). \]
Это дает нам систему уравнений:
- \(-k_1 + 5k_2 = 4\) (уравнение по первой компоненте),
- \(k_1 - 3k_2 = -2\) (уравнение по второй компоненте).
Теперь решим эту систему. Из первого уравнения выразим \( k_1 \):
\[ k_1 = 5k_2 - 4. \]
Подставим \( k_1 \) во второе уравнение:
\[ (5k_2 - 4) - 3k_2 = -2. \]
Упростим его:
\[ 5k_2 - 4 - 3k_2 = -2, \] \[ 2k_2 - 4 = -2, \] \[ 2k_2 = 2, \] \[ k_2 = 1. \]
Теперь подставим \( k_2 \) обратно, чтобы найти \( k_1 \):
\[ k_1 = 5 \cdot 1 - 4 = 5 - 4 = 1. \]
Таким образом, коэффициенты \( k_1 \) и \( k_2 \) равны \( k_1 = 1 \) и \( k_2 = 1 \).
Мы нашли разложение:
\[ \mathbf{a} = 1 \cdot \mathbf{p} + 1 \cdot \mathbf{q}, \]
или вектор \( \mathbf{a} \) можно представить как:
\[ \mathbf{a} = (-1, 1) + (5, -3) = (4, -2). \]
Следовательно, разложение вектора \( \mathbf{a} \) по базису \( \{\mathbf{p}, \mathbf{q}\} \) выглядит следующим образом:
\[ \mathbf{a} = 1 \cdot \mathbf{p} + 1 \cdot \mathbf{q}. \]
