вычислите значение выражения: th67°-ctg83°/1+tg67°ctg 83°

Для вычисления выражения \( \frac{\tan 67^\circ - \cot 83^\circ}{1 + \tan 67^\circ \cdot \cot 83^\circ} \) начнем с применения тригонометрических идентичностей.

Зная, что \( \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} \), можно записать \( \cot 83^\circ \) как \( \frac{1}{\tan 83^\circ} \). Теперь подставим это в наше выражение:

\[ \frac{\tan 67^\circ - \frac{1}{\tan 83^\circ}}{1 + \tan 67^\circ \cdot \frac{1}{\tan 83^\circ}} \]

Также полезно помнить, что \( \tan(90^\circ - x) = \cot x \). Таким образом, \( \tan 67^\circ = \cot 23^\circ \) и \( \tan 83^\circ = \cot 7^\circ \).

Теперь у нас есть:

\[ \frac{\cot 23^\circ - \cot 83^\circ}{1 + \cot 23^\circ \cdot \cot 83^\circ} \]

Вспомним, что \( \cot 83^\circ = \tan 7^\circ \), и у нас остается:

\[ \frac{\tan 67^\circ - \tan 7^\circ}{1 + \tan 67^\circ \cdot \tan 7^\circ} \]

Это выражение можно упростить, используя формулу для синуса и косинуса. В результате мы получаем:

\[ \frac{\sin(67^\circ) \cos(7^\circ) - \cos(67^\circ) \sin(7^\circ)}{\cos(67^\circ) \cos(7^\circ) + \sin(67^\circ) \sin(7^\circ)} \]

Обращаясь к формуле разности синусов и суммы косинусов, получаем:

\[ \frac{\sin(67^\circ - 7^\circ)}{\cos(67^\circ + 7^\circ)} = \frac{\sin(60^\circ)}{\cos(74^\circ)} \]

Мы знаем, что \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и можем найти \( \cos(74^\circ) \), если это необходимо.

Однако для окончательного упрощения стоит подставить значения и получить численный результат. Подытожим:

Итак, выражение можно записать и оценить численно, или оставить в виде:

\[ \frac{\sin(60^\circ)}{\cos(74^\circ)} \]

Таким образом, для окончательного ответа, вычислите значение и получите конкретный численный результат.