109. Найдите координаты точек пересечения графиков функций, не выполняя построений: а)y = 0, 4x + 3 a) и y = 5 - 0.6x; б) y = 1/3 * x + 11 y = - 2/9 * x + 4.
Для нахождения координат точек пересечения графиков функций, необходимо решить систему уравнений, приравняв правые части функций, так как в точках пересечения значения \(y\) обоих графиков равны.
а) Уравнения функций:
- \( y = 0.4x + 3 \)
- \( y = 5 - 0.6x \)
Приравняем их:
\[ 0.4x + 3 = 5 - 0.6x \]
Теперь решим это уравнение:
- Переносим все составляющие с \(x\) в одну сторону, а свободные в другую:
\[ 0.4x + 0.6x = 5 - 3 \]
- Суммируем \(x\):
\[ 1.0x = 2 \]
- Делим обе стороны на 1:
\[ x = 2 \]
Теперь подставим значение \(x\) в любое из уравнений для нахождения \(y\). Используем первое уравнение:
\[ y = 0.4(2) + 3 = 0.8 + 3 = 3.8 \]
Таким образом, точка пересечения графиков первой пары функций: \((2, 3.8)\).
б) Уравнения функций:
- \( y = \frac{1}{3}x + 11 \)
- \( y = -\frac{2}{9}x + 4 \)
Приравняем их:
\[ \frac{1}{3}x + 11 = -\frac{2}{9}x + 4 \]
Решим это уравнение. Сначала приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 9 – это 9:
- Умножим всё на 9, чтобы избавиться от дробей:
\[ 9 \cdot \left(\frac{1}{3}x\right) + 9 \cdot 11 = 9 \cdot \left(-\frac{2}{9}x\right) + 9 \cdot 4 \]
что упрощается до:
\[ 3x + 99 = -2x + 36 \]
- Переносим все \(x\) в одну сторону и постоянные в другую:
\[ 3x + 2x = 36 - 99 \]
- Суммируем:
\[ 5x = -63 \]
- Делим на 5:
\[ x = -\frac{63}{5} = -12.6 \]
Теперь подставим значение \(x\) в любое из уравнений для нахождения \(y\). Используем первое уравнение:
\[ y = \frac{1}{3}(-12.6) + 11 \]
Вычисляем: \[ y = -4.2 + 11 = 6.8 \]
Таким образом, точка пересечения графиков второй пары функций: \(\left(-12.6, 6.8\right)\).
В результате, координаты точек пересечения:
- Для первой пары: \((2, 3.8)\)
- Для второй пары: \(\left(-12.6, 6.8\right)\)
