Для решения задачи давайте сначала определим, сколько рейсов нужно сделать, чтобы перевезти всех 300 туристов, если каждый рейс может взять 15 человек.
- Сначала найдем количество рейсов:
[
\text{Количество рейсов} = \frac{300}{15} = 20
]
Таким образом, вертолет должен совершить 20 рейсов, чтобы перевезти всех 300 туристов.
- Теперь найдем вероятность того, что конкретный турист, например турист В., полетит первым рейсом.
Когда вертолет совершает первый рейс, он может взять 15 туристов из общей группы из 300 человек. Мы хотим найти вероятность того, что турист В. окажется среди первых 15 туристов.
- Число способов выбрать 15 туристов из 300:
[
\text{Количество способов выбрать 15 из 300} = C(300, 15)
]
где ( C(n, k) ) — это биномиальный коэффициент, равный количеству способов выбрать ( k ) объектов из ( n ).
- Чтобы узнать количество способов, при котором турист В. будет в группе из 15, нам нужно выбрать еще 14 туристов из оставшихся 299 (включая 299 людей, кроме туриста В.):
[
\text{Количество способов выбрать 14 из 299} = C(299, 14)
]
- Таким образом, вероятность того, что турист В. полетит первым рейсом, равна отношению числа благоприятных исходов к общему количеству исходов:
[
P(\text{В. в первом рейсе}) = \frac{C(299, 14)}{C(300, 15)}
]
- Теперь мы знаем, что:
[
C(300, 15) = \frac{300!}{15! \cdot (300 - 15)!} = \frac{300!}{15! \cdot 285!}
]
[
C(299, 14) = \frac{299!}{14! \cdot (299 - 14)!} = \frac{299!}{14! \cdot 285!}
]
- Подставив эти выражения в нашу формулу, получаем:
[
P(\text{В. в первом рейсе}) = \frac{\frac{299!}{14! \cdot 285!}}{\frac{300!}{15! \cdot 285!}} = \frac{299! \cdot 15!}{14! \cdot 285! \cdot 300!}
]
Так как ( 300! = 300 \cdot 299! ):
[
P(\text{В. в первом рейсе}) = \frac{299! \cdot 15!}{14! \cdot 285! \cdot 300 \cdot 299!} = \frac{15!}{14! \cdot 300} = \frac{15}{300} = \frac{1}{20}
]
Таким образом, вероятность того, что турист В. полетит первым рейсом вертолета, равна:
[
\boxed{\frac{1}{20}}
]
