Линейная скорость точек обода вращающегося диска равна = 3 м/с, а точек, находящихся на = 10 см ближе к оси вращения, = 2 м/с. Чему равна частота v вращения диска?
Для того чтобы найти частоту вращения диска, сначала нужно понимать взаимосвязь между линейной скоростью (v), радиусом (r) и угловой скоростью (ω):
\[ v = r \cdot \omega \]
Где:
- \( v \) - линейная скорость,
- \( r \) - радиус,
- \( \omega \) - угловая скорость (в радианах в секунду).
Рассмотрим две скорости:
- Для точки на ободе диска, где линейная скорость \( v_1 = 3 \, \text{м/с} \).
- Для точки, находящейся на 10 см (0.1 м) ближе к оси вращения, линейная скорость \( v_2 = 2 \, \text{м/с} \).
Обозначим радиус обода диска как \( r_1 \), тогда:
\[ v_1 = r_1 \cdot \omega \quad \text{(1)} \]
Для точки, которая находится на 10 см ближе к центру:
\[ v_2 = (r_1 - 0.1) \cdot \omega \quad \text{(2)} \]
Теперь подставим известные значения в уравнения (1) и (2):
- \( 3 = r_1 \cdot \omega \)
- \( 2 = (r_1 - 0.1) \cdot \omega \)
Теперь выразим \( \omega \) из первого уравнения:
\[ \omega = \frac{3}{r_1} \]
Подставим это значение во второе уравнение:
\[ 2 = (r_1 - 0.1) \cdot \frac{3}{r_1} \]
Теперь умножим обе стороны на \( r_1 \):
\[ 2r_1 = 3(r_1 - 0.1) \]
Раскроем скобки:
\[ 2r_1 = 3r_1 - 0.3 \]
Переносим все \( r_1 \) на одну сторону:
\[ 0.3 = 3r_1 - 2r_1 \]
\[ 0.3 = r_1 \]
Теперь подставим \( r_1 \) обратно, чтобы найти \( \omega \):
\[ \omega = \frac{3}{0.3} = 10 \, \text{рад/с} \]
Теперь, чтобы найти частоту вращения (f), воспользуемся связью:
\[ f = \frac{\omega}{2\pi} \]
Подставим \( \omega \):
\[ f = \frac{10}{2\pi} \approx \frac{10}{6.28} \approx 1.59 \, \text{об/с} \]
Таким образом, частота вращения диска составляет примерно \( 1.59 \, \text{об/с} \).
