постройке график функции у=2х²+8х+2 и найдите, используя график: а) значение у при х=-2,3; -0,5; 1,2; б) значение х,, при которых у=-4; -1; 1,7; в) нули функции, промежутки, в…

Чтобы построить график функции \( y = 2x^2 + 8x + 2 \), сначала удобно привести ее к стандартному виду и определить основные характеристики.

1. Определяем вершину параболы

Функция является квадратной, и ее график представляет собой параболу. Для нахождения координат вершины параболы можно использовать формулы:

• \( x_{в} = -\frac{b}{2a} \)
• \( y_{в} = f(x_{в}) \)

Где \( a = 2 \), \( b = 8 \). Подставляем значения:

\[ x_{в} = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2 \]

Теперь подставим \( x_{в} \) в функцию, чтобы найти \( y_{в} \):

\[ y_{в} = 2(-2)^2 + 8(-2) + 2 = 2 \cdot 4 - 16 + 2 = 8 - 16 + 2 = -6 \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (-2, -6) \).

2. Нули функции

Чтобы найти нули функции, решим уравнение \( 2x^2 + 8x + 2 = 0 \) с помощью дискриминанта \( D \):

\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 64 - 16 = 48 \]

Корни уравнения находятся по формуле:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{48}}{4} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{3}}{4} = -2 \pm \sqrt{3} \]

Это означает, что функция имеет два нуля: \( x_1 = -2 - \sqrt{3} \) и \( x_2 = -2 + \sqrt{3} \).

3. Промежутки, где \( y > 0 \) и \( y < 0 \)

Поскольку парабола обращена вверх (коэффициент при \( x^2 \) положительный), она будет меньше нуля между нулями функции, и больше нуля вне их. Итак:

• \( y < 0 \) на интервале \( (-2 - \sqrt{3}, -2 + \sqrt{3}) \)
• \( y > 0 \) в интервалах \( (-\infty, -2 - \sqrt{3}) \) и \( (-2 + \sqrt{3}, +\infty) \)

4. Промежутки возрастания и убывания функции

Функция убывает на интервале \( (-\infty, -2) \) и возрастает на интервале \( (-2, +\infty) \). Наименьшее значение функции, которое она принимает, находится в вершине параболы и равно \( -6 \).

5. Значения функции при различных \( x \)

Теперь найдем значения \( y \) для следующих \( x \):

• \( x = -2.3 \):

\[ y = 2(-2.3)^2 + 8(-2.3) + 2 = 2 \cdot 5.29 - 18.4 + 2 = 10.58 - 18.4 + 2 = -5.82 \]

• \( x = -0.5 \):

\[ y = 2(-0.5)^2 + 8(-0.5) + 2 = 2 \cdot 0.25 - 4 + 2 = 0.5 - 4 + 2 = -1.5 \]

• \( x = 1.2 \):

\[ y = 2(1.2)^2 + 8(1.2) + 2 = 2 \cdot 1.44 + 9.6 + 2 = 2.88 + 9.6 + 2 = 14.48 \]

6. Значения \( x \) при различных \( y \)

Теперь можем найти значения \( x \) для следующих \( y \):

• \( y = -4 \):

Необходимо решить уравнение:

\[ 2x^2 + 8x + 2 = -4 \implies 2x^2 + 8x + 6 = 0 \implies x^2 + 4x + 3 = 0 \implies (x + 1)(x + 3) = 0 \]

Значения: \( x = -1 \) и \( x = -3 \).

• \( y = -1 \):

\[ 2x^2 + 8x + 2 = -1 \implies 2x^2 + 8x + 3 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = 64 - 24 = 40 \implies x = \frac{-8 \pm \sqrt{40}}{4} = -2 \pm \sqrt{10} \]

• \( y = 1.7 \):

\[ 2x^2 + 8x + 2 = 1.7 \implies 2x^2 + 8x + 0.3 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = 64 - 2.4 = 61.6 \implies x = \frac{-8 \pm \sqrt{61.6}}{4} \]

Таким образом, все ответные значения были найдены с помощью построения графика и анализа функции. Не стесняйся задавать дополнительные вопросы для прояснения материала!