На ювелирную фабрику поступил для обработки (огранки) драгоценный камень весом 20 карат. Уже при первичной обработке камень раскололся на три части,две из которых(меньшие по весу)…

Для решения задачи давайте обозначим вес большего кусочка камня как \( x \) карат, а вес меньших кусочков как \( y \) карат. По условию, два меньших кусочка имеют равный вес, и, следовательно, их суммарный вес будет равен \( 2y \).

Исходя из того, что изначальный вес камня составлял 20 карат, мы можем записать уравнение:

\[ x + 2y = 20 \]

Теперь, так как стоимость драгоценных камней пропорциональна квадрату их веса, мы можем записать стоимость целого камня и стоимости частей:

• Стоимость целого камня будет \( k \cdot (20^2) = 400k \), где \( k \) — некоторый коэффициент пропорциональности.
• Стоимость большего кусочка будет \( k \cdot (x^2) \).
• Стоимость меньшего кусочка будет \( k \cdot (y^2) \), и поскольку у нас два таких кусочка, общая стоимость меньших частей будет \( 2k \cdot (y^2) \).

Суммарная стоимость составленных частей равна:

\[ k \cdot (x^2) + 2k \cdot (y^2) = k \cdot (x^2 + 2y^2) \]

По условию мы знаем, что новая стоимость станет на 42% меньше стоимости целого камня, что можно записать так:

\[ k \cdot (x^2 + 2y^2) = (1 - 0.42) \cdot 400k = 0.58 \cdot 400k = 232k \]

Убираем \( k \) из обоих частей:

\[ x^2 + 2y^2 = 232 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( x + 2y = 20 \)
2. \( x^2 + 2y^2 = 232 \)

Теперь выразим \( x \) через \( y \) из первого уравнения:

\[ x = 20 - 2y \]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[ (20 - 2y)^2 + 2y^2 = 232 \]

Раскроем скобки:

\[ 400 - 80y + 4y^2 + 2y^2 = 232 \]

Соберем подобные:

\[ 400 - 80y + 6y^2 = 232 \]

Переносим 232 на левую сторону:

\[ 6y^2 - 80y + 168 = 0 \]

Теперь упростим это уравнение, разделив на 2:

\[ 3y^2 - 40y + 84 = 0 \]

Теперь используем дискриминант для решения квадратичного уравнения:

\[ D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 84 = 1600 - 1008 = 592 \]

Находим корни:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 \pm \sqrt{592}}{6} \] \[ y = \frac{40 \pm 24.33}{6} \]

Вычисlim две возможности для \( y \):

1. \( y_1 = \frac{64.33}{6} \approx 10.72 \)
2. \( y_2 = \frac{15.67}{6} \approx 2.61 \)

Теперь подставляем \( y \) обратно для нахождения \( x \):

1. Для \( y_1 \approx 10.72 \): \( x = 20 - 2 \cdot 10.72 \approx -1.44 \) (невозможно)
2. Для \( y_2 \approx 2.61 \): \( x = 20 - 2 \cdot 2.61 \approx 14.78 \)

Теперь мы знаем, что вес большего кусочка равен \( x \approx 14.78 \) карат. Чтобы найти соответствующее значение в квадратах, мы вычисляем:

\[ x^2 \approx (14.78)^2 \approx 218.71 \]

Таким образом, вес большей части расколовшегося камня в квадратах (без округления) составляет примерно 218.71.