Все клетки нечётных столбцов доски 8 × 8 покрашены в чёрный цвет, а все клетки чётных столбцов — в белый. В левой нижней угловой клетке доски стоит хромая ладья, которая может ходить на одну клетку вправо или на одну клетку вверх. Каких способов добраться до правой верхней угловой клетки больше: тех, в которых больше белых клеток, или тех, в которых больше чёрных клеток?

Давайте разберемся с задачей пошагово.

На шахматной доске 8 × 8, где все клетки нечётных столбцов чёрные, а все клетки чётных столбцов белые, левой нижней угловой клеткой является клетка (1,1) (чёрная), а правой верхней угловой клеткой является клетка (8,8) (белая).

Ходы ладьи

Ладья может двигаться только на одну клетку вправо или вверх. Таким образом, чтобы добраться с (1,1) до (8,8), нужно сделать 7 ходов вправо и 7 ходов вверх. Всего будет 14 ходов, из которых 7 — вправо и 7 — вверх.

Комбинации ходов

Количество различных комбинаций, в которых можно сделать 7 ходов вправо и 7 ходов вверх, вычисляется по формуле для сочетаний: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где \( n \) — общее количество ходов (14), а \( k \) — количество ходов в одном из направлений (7).

Таким образом, общее количество вариантов ходов будет: \[ C(14, 7) = \frac{14!}{7! \cdot 7!} = 3432 \]

Цвета клеток

Теперь проанализируем, сколько из этих маршрутов содержит больше белых или больше черных клеток.

• Каждое движение вправо будет перемещать ладью на клетку именно одного цвета (чёрная на белую и наоборот). Так как нижняя левая клетка (1,1) чёрная, после первого хода (вправо) она станет белой.
• Поскольку доска имеет чередующиеся цвета, можно заметить:
  • Находясь на чёрной клетке, при каждом ходе «вправо» цвет будет меняться (чёрная - белая - чёрная - белая и так далее).
  • После 7 ходов вправо и 7 ходов вверх ладья окажется на белой клетке.

При этом, поскольку на каждом прямом пути из 14 ходов у нас 7 ходов идут в одном направлении и 7 в другом, на каждом пути будет одинаковое количество черных и белых клеток.

Итак, в любом возможном пути из (1,1) в (8,8), белых клеток будет 7, и тоже 7 черных клеток. Значит, количество всех маршрутов, на которых больше белых клеток, равно количеству маршрутов, на которых больше черных клеток.

Ответ

Количество способов, чтобы добраться до правой верхней угловой клетки, в которых больше белых клеток, равно количеству способов, где больше черных клеток. Поэтому, этих путей одинаково, и можно сказать, что ни один из цветов не преобладает.