Решить неравенство a) (x-2)(x+2)/x-3<0 б) x²-10x+25/x²-4x-12>=0

Давайте решим оба неравенства поэтапно.

a) \(\frac{(x-2)(x+2)}{x-3} < 0\)

1. Найдем нули числителя и знаменателя:

   • Числитель: \((x-2)(x+2) = 0\)
     • \(x-2=0 \Rightarrow x=2\)
     • \(x+2=0 \Rightarrow x=-2\)
   • Знаменатель: \(x-3=0 \Rightarrow x=3\)

2. Определим критические точки: Критические точки: \(x = -2, 2, 3\).

3. Построим числовую прямую и проверим знаки на интервалах:

   • Интервалы: \((-∞, -2)\), \((-2, 2)\), \((2, 3)\), \((3, +∞)\).

   Проверим знак на этих интервалах:

   • Для \(x < -2\) (например, \(x = -3\)): \(\frac{(-)(-)}{-} > 0\)
   • Для \(-2 < x < 2\) (например, \(x = 0\)): \(\frac{(-)(+)}{-} > 0\)
   • Для \(2 < x < 3\) (например, \(x = 2.5\)): \(\frac{(+)(+)}{-} < 0\)
   • Для \(x > 3\) (например, \(x = 4\)): \(\frac{(+)(+)}{+} > 0\)

4. Составим знак:

   • На интервалах \((-∞, -2)\) и \((-2, 2)\) у нас знак положительный.
   • На интервале \((2, 3)\) знак отрицательный (это наш искомый интервал).
   • На интервале \((3, +∞)\) знак снова положительный.

5. Запись ответа: Ответом будет: \(2 < x < 3\).

б) \(\frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 4x - 12} \geq 0\)

1. Запишем числитель и знаменатель:

   • Числитель: \(x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2\)
   • Знаменатель: \(x^2 - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2)\)

2. Найдем нули числителя и знаменателя:

   • Числитель: \((x - 5)^2 = 0 \Rightarrow x = 5\)
   • Знаменатель: \((x - 6)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 6, -2\)

3. Критические точки: Критические точки: \(x = -2, 5, 6\).

4. Построим числовую прямую и проверим знаки: Интервалы: \((-∞, -2)\), \((-2, 5)\), \((5, 6)\), \((6, +∞)\).

   Проверим знак на этих интервалах:

   • Для \(x < -2\) (например, \(x = -3\)): \(\frac{(+)}{(-)} < 0\)
   • Для \(-2 < x < 5\) (например, \(x = 0\)): \(\frac{(+)}{(-)} < 0\)
   • Для \(5 < x < 6\) (например, \(x = 5.5\)): \(\frac{(+)}{(-)} < 0\)
   • Для \(x > 6\) (например, \(x = 7\)): \(\frac{(+)}{(+)} > 0\)

5. Составим знак:

   • На интервалах \((-∞, -2)\) и \((-2, 5)\) у нас знак отрицательный.
   • На интервале \((5, 6)\) знак тоже отрицательный.
   • На интервале \((6, +∞)\) знак положительный.

6. Обратите внимание на точки:

   • В точке \(x = -2\) знак не определен (деление на ноль).
   • В точке \(x = 5\) знак равен нулю (допустимо, так как неравенство включает знак равенства).
   • В точке \(x = 6\) знак тоже не определен (деление на ноль).

7. Запись ответа: Ответом будет: \(x \geq 5\) и \(x > 6\) или \(x \in (6, +∞)\).

Итоговые ответы:

a) \(2 < x < 3\)
б) \(x \geq 5\) и \(x > 6\) или \(x \in (6, +∞)\)