Вася прибавил каждому числу от 2 до 10.000 его наибольший делитель отлично от самого числа и выписал все получившиеся 9.999 сумм на доску верно ли что на доске оказалось более 9.500 различных чисел

Чтобы решить задачу, сначала разберёмся с тем, что именно делает Вася. Он берёт каждое число \( n \) от 2 до 10,000 и прибавляет его наибольший делитель, отличный от самого числа. Наибольший делитель числа \( n \), отличный от него самого, – это число \( d \), такое что \( d \) делит \( n \) и \( d < n \).

Для чётных чисел наибольшим делителем будет \( n/2 \), если \( n \) – это степень двойки. Для нечётных чисел наибольшим делителем будет наибольший делитель, который обычно меньше самого числа и будет равен либо \( n-1 \), либо другим делителям.

Теперь давайте исследуем, какие числа Вася получает в результате:

1. Для каждого чётного числа \( n \) (например, 2, 4, 6, ...), начиная с 2, он прибавляет \( n/2 \).
2. Для нечётных чисел, подобных 3, 5, 7 и так далее, он прибавляет делитель, который наибольший и меньше самого числа.

Теперь к количеству различных таких результатов:

Значительная часть чисел будет повторяться, особенно у чисел, которые находятся близко друг к другу. Тем не менее, можно ожидать, что многие результаты будут уникальными.

Если посмотреть на диапазон от 2 до 10,000 и учесть, что наибольший делитель для большинства чисел будет относительно близким к числу, это предполагает, что многие суммы могут пересекаться.

Однако, чтобы легче представить, сделаем небольшую аналогию: у каждого чётного числа результат будет равен \( n + n/2 = 1.5n \), что даёт набор чисел, который быстро растёт. Таким образом, это приводит к формированию уникальных значений, поскольку результаты сильно зависят от свойств делителей.

Для полного подтверждения количества различных сумм нужно провести детальный подсчёт, однако по предварительным оценкам, можно допустить, что более 9,500 различных чисел действительно может оказаться на доске, если учитывать все возможные уникальные вариации, возникающие из прибавлений.

Таким образом, можно сказать, что утверждение о более чем 9,500 различных числах на доске вполне вероятно.