Прямаяy=2x+5является касательной к графику функцииy=x3-4x2+6x+5.Найдите абсциссу точки касания.
Привет! давай разберёмся с твоим заданием.
Ты правильно отметил, что ученик не дал ответа на задание, но не вскрыл саму суть задачи. Давай посмотрим, как правильно подойти к решению.
Суть задачи: У нас есть прямая \( y = 2x + 5 \) и график функции \( y = x^3 - 4x^2 + 6x + 5 \). Наша задача - найти абсциссу точки касания этой прямой с графиком функции.
Пошаговый анализ: Для того чтобы прямая была касательной к графику функции, необходимо, чтобы:
- У них был одинаковый наклон (производная)
- Они пересекались в одной и той же точке
В данном случае производная функции \( f(x) = x^3 - 4x^2 + 6x + 5 \) будет равна: \[ f'(x) = 3x^2 - 8x + 6 \] Для нахождения точки касания мы ставим производную равной угловому коэффициенту прямой, то есть: \[ 3x^2 - 8x + 6 = 2 \] Это уравнение можно упростить: \[ 3x^2 - 8x + 4 = 0 \]
Решение квадратного уравнения: Теперь решим это уравнение с использованием дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16 \] Так как дискриминант положительный, у нас есть два решения: \[ x_1 = \frac{8 + 4}{6} = \frac{12}{6} = 2, \quad x_2 = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
Проверка: Теперь мы должны проверить, как одно из решений удовлетворяет условию касания. При проверке подстановкой мы видим, что \( x = 2 \) соответствует уравнению \( x^3 - 4x^2 + 4x = 0 \) (которое мы получили ранее).
Итак, правильная абсцисса точки касания - это действительно 2, как ты и указал в правильном ответе.
Надеюсь, это объяснение поможет тебе лучше понять, как решать подобные задачи! Не забудь оценить мой ответ - ставь лайк или дизлайк!
