среднее арифметическое из двух чисел равно 27/2, а разность их квадратов равна 1. Найдите сумму квадратов этих чисел
Давайте обозначим два числа как \( x \) и \( y \).
Из условия, что среднее арифметическое этих чисел равно \( \frac{27}{2} \), можем записать уравнение: \[ \frac{x + y}{2} = \frac{27}{2} \] Умножим обе стороны на 2: \[ x + y = 27 \]
Следующее условие говорит, что разность их квадратов равна 1: \[ x^2 - y^2 = 1 \] Это можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов: \[ (x - y)(x + y) = 1 \] Подставим значение \( x + y \): \[ (x - y) \cdot 27 = 1 \] Следовательно, получаем: \[ x - y = \frac{1}{27} \]
Теперь у нас есть система уравнений:
\[ \begin{cases} x + y = 27 \\ x - y = \frac{1}{27} \end{cases} \]
Теперь давайте решим эту систему. Прибавим оба уравнения: \[ (x + y) + (x - y) = 27 + \frac{1}{27} \] Это упрощается до: \[ 2x = 27 + \frac{1}{27} \] Приведем к общему знаменателю: \[ 2x = \frac{27 \cdot 27 + 1}{27} = \frac{729 + 1}{27} = \frac{730}{27} \] Теперь разделим обе стороны на 2: \[ x = \frac{365}{27} \]
Подставим значение \( x \) в первое уравнение: \[ \frac{365}{27} + y = 27 \] Преобразуем уравнение: \[ y = 27 - \frac{365}{27} = \frac{27 \cdot 27 - 365}{27} = \frac{729 - 365}{27} = \frac{364}{27} \]
Теперь у нас есть значения для \( x \) и \( y \): \[ x = \frac{365}{27}, \quad y = \frac{364}{27} \]
- Теперь найдем сумму квадратов этих чисел: \[ x^2 + y^2 = \left(\frac{365}{27}\right)^2 + \left(\frac{364}{27}\right)^2 \]
Сначала вычислим квадраты: \[ \left(\frac{365}{27}\right)^2 = \frac{365^2}{27^2}, \quad \left(\frac{364}{27}\right)^2 = \frac{364^2}{27^2} \]
Сложим их: \[ x^2 + y^2 = \frac{365^2 + 364^2}{27^2} \]
Теперь вычислим \( 365^2 + 364^2 \): \[ 365^2 = 133225, \quad 364^2 = 132496 \] Теперь сложим эти значения: \[ 133225 + 132496 = 265721 \]
Итак, мы имеем: \[ x^2 + y^2 = \frac{265721}{729} \]
Таким образом, сумма квадратов этих чисел равна \( \frac{265721}{729} \).
