На сторонах АВ и АС прямоугольного треугольника ABC (∠C=90") отмечены соответственно такие точки Д и Е, что BD = 2 см, CE = 1 см. Найдите отрезок DE,ес- ли AC = 4 см, BC =…

Для нахождения отрезка DE в прямоугольном треугольнике ABC, сначала определим расположение всех точек в координатной системе.

1. Установим координаты вершин треугольника ABC:

   • Пусть точка C находится в начале координат, т.е. C(0, 0).
   • Точка A по оси y: A(0, 4) (так как AC = 4 см).
   • Точка B по оси x: B(2√5, 0) (так как BC = 2√5 см).

2. Найдем координаты точек D и E:

   • Точка D находится на стороне AB. Поскольку мы знаем, что BD = 2 см, мы можем найти координаты D, используя подобие треугольников.
   • Сначала найдем длину AB: \[ AB = \sqrt{(2\sqrt{5} - 0)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 + (4)^2} = \sqrt{20 + 16} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}. \]
   • Процент расстояния BD на AB: \[ t_D = \frac{BD}{AB} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. \]
   • Определим координаты точки D по формуле: \[ D = \left(0 + \frac{1}{3}(2\sqrt{5} - 0), 4 - \frac{1}{3}(4 - 0)\right) = \left(\frac{2\sqrt{5}}{3}, \frac{8}{3}\right). \]

3. Точка E находится на стороне AC. Поскольку CE = 1 см, мы можем найти координаты E аналогично:

   • Поскольку AC = 4 см, то процент расстояния CE на AC: \[ t_E = \frac{CE}{AC} = \frac{1}{4}. \]
   • Определим координаты точки E: \[ E = \left(0 + 0 \cdot t_E, 4 - 4 \cdot t_E\right) = \left(0, 4 - 1\right) = (0, 3). \]

4. Теперь найдем длину отрезка DE:

   • Используя координаты D \(\left(\frac{2\sqrt{5}}{3}, \frac{8}{3}\right)\) и E(0, 3), найдем DE: \[ DE = \sqrt{\left(\frac{2\sqrt{5}}{3} - 0\right)^2 + \left(\frac{8}{3} - 3\right)^2}. \]
   • Упрощаем вторую составляющую: \[ DE = \sqrt{\left(\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)^2 + \left(\frac{8}{3} - \frac{9}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2}. \]
   • Подсчитаем: \[ = \sqrt{\frac{4 \cdot 5}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{20 + 1}{9}} = \sqrt{\frac{21}{9}} = \frac{\sqrt{21}}{3}. \]

Таким образом, длина отрезка DE составляет \(\frac{\sqrt{21}}{3}\) см.