В треугольнике МТР проведена медиана МК Найдите косинус угла МКР если MT = вектор а+ вектор в, MТ = вектор а- 3 вектора в, |а|=1, |в|= корень из двух, а угол между вектора (а,в)=pi/4
Чтобы найти косинус угла \( \angle MKR \) в треугольнике \( MTR \), где \( MK \) – медиана, нам нужно рассмотреть векторы \( MT \), \( MT \) и \( MK \) более детально.
Дано:
- \( MT = \vec{a} + \vec{b} \)
- \( MR = \vec{a} - 3\vec{b} \)
- \( |\vec{a}| = 1 \)
- \( |\vec{b}| = \sqrt{2} \)
- Угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равен \( \frac{\pi}{4} \).
Сначала находим вектор медианы \( MK \). По определению медиана делит сторону \( TR \) пополам, и её координаты можно найти как: \[ K = \frac{T + R}{2} = \frac{(\vec{a} + \vec{b}) + (\vec{a} - 3\vec{b})}{2} = \frac{2\vec{a} - 2\vec{b}}{2} = \vec{a} - \vec{b}. \]
Теперь рассчитаем вектор \( MK \): \[ MK = K - M = (\vec{a} - \vec{b}) - \vec{a} = -\vec{b}. \]
Следующим шагом найдем вектор \( KR \): \[ KR = R - K = (\vec{a} - 3\vec{b}) - (\vec{a} - \vec{b}) = -2\vec{b}. \]
Теперь у нас есть векторы \( MK \) и \( KR \):
- \( MK = -\vec{b} \)
- \( KR = -2\vec{b} \)
Теперь найдем косинус угла \( \angle MKR \) с помощью скалярного произведения: \[ \cos(\angle MKR) = \frac{MK \cdot KR}{|MK| |KR|}. \]
Вычислим скалярное произведение: \[ MK \cdot KR = (-\vec{b}) \cdot (-2\vec{b}) = 2 (\vec{b} \cdot \vec{b}) = 2 |\vec{b}|^2 = 2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 2 \cdot 2 = 4. \]
Теперь найдем длины векторов \( MK \) и \( KR \): \[ |MK| = |-\vec{b}| = |\vec{b}| = \sqrt{2}, \] \[ |KR| = |-2\vec{b}| = 2|\vec{b}| = 2\sqrt{2}. \]
Теперь можем подставить все в формулу для косинуса: \[ \cos(\angle MKR) = \frac{4}{(\sqrt{2})(2\sqrt{2})} = \frac{4}{4} = 1. \]
Таким образом, угол \( \angle MKR \) равен \( 0 \) (или \( 180^\circ \)), и это значит, что векторы \( MK \) и \( KR \) расположены в одном направлении.
Ответ: \[ \cos(\angle MKR) = 1. \]
